浅谈「正定矩阵」和「半正定矩阵」

1. 基本的定义

 

正定和半正定这两个词的英文分别是positive definite和positive semi-definite,其中,definite是一个形容词,表示“明确的、确定的”等意思。

 

初学线性代数的读者可能会被这两个词“唬住”,但正定矩阵和半正定矩阵的定义实际上是很简单的 (不考虑复数构成的矩阵):

 

【定义1】给定一个大小为 的实对称矩阵 ,若对于任意长度为 的非零向量 ,有 恒成立,则矩阵 是一个正定矩阵。

 

【例1】单位矩阵 是否是正定矩阵?

 

解:设向量 为非零向量,则

 

由于 ,故 恒成立,即单位矩阵 是正定矩阵。

 

单位矩阵是正定矩阵 (positive definite)。

 

【简单证明】对于任意单位矩阵 而言,给定任意非零向量 ,恒有

 

 

 

【例2】 实对称矩阵 是否是正定矩阵?

 

解:设向量 为非零向量,则

 

 

 

因此,矩阵 是正定矩阵。

 

【定义2】给定一个大小为 的实对称矩阵 ,若对于任意长度为 的向量 ,有 恒成立,则矩阵 是一个半正定矩阵。

 

根据正定矩阵和半正定矩阵的定义,我们也会发现:半正定矩阵包括了正定矩阵,与非负实数 (non-negative real number)和正实数 (positive real number)之间的关系很像。

图1 正实数与负实数,图片来源于https://en.wikipedia.org/wiki/Real_number

2. 从二次函数到正定/半正定矩阵

 

在初中数学中,我们学习了二次函数 ,该函数的曲线会经过坐标原点,当参数 时,曲线的“开口”向上,参数 时,曲线的“开口”向下。

 

为例,曲线如下:

图2 二次函数曲线

实际上,我们可以将 视作 的多维表达式。

 

当我们希望 对于任意向量 都恒成立,就要求矩阵 是一个半正定矩阵,对应于二次函数, 需要使得 .

 

另外,在 中,我们还知道:若 ,则对于任意 ,有 恒成立。

 

这在 也有契合之处,当矩阵 是正定矩阵时,对于任意 恒成立。

 

3. 正定矩阵和半正定矩阵的直观解释

 

若给定任意一个正定矩阵 和一个非零向量 ,则两者相乘得到的向量 与向量 的夹角恒小于 . (等价于: .)

 

【例3】给定向量 ,对于单位矩阵 ,则

 

 

向量 之间的夹角为

 

 

 

 

即两个向量之间的夹角为0°.

 

【例4】给定向量 ,对于实对称矩阵 ,则

 

 

向量 之间的夹角为

 

 

即两个向量之间的夹角小于 .

 

若给定任意一个正定矩阵 和一个向量 ,则两者相乘得到的向量 与向量 的夹角恒小于或等于 . (等价于: .)

 

3. 为什幺协方差矩阵要是半正定的?

 

在概率论与数理统计中,我们都学习的协方差矩阵的定义:

 

对于任意多元随机变量 ,协方差矩阵为

 

现给定任意一个向量 ,则

 

 

 

 

其中,

 

 

由于 ,因此, ,协方差矩阵 是半正定的。

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