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超详细白板推导:从模型和优化 2 个角度详解 SVM 核函数

SVM 白板推导| 由最大间隔化目标演化的损失函数推导过程 中白板手推了 SVM 的原理,并介绍了硬间隔核函数的实现原理及公式推导,这一节我来详细介绍下 SVM 中的 Keynel Function。

 

一直以来我们只知道核函数能让 SVM 在高维空间中实现非线性可分,那幺,核函数是在什幺情况下被提出的呢?又有哪几种核函数呢?

 

本篇文章从 2 个角度讲解 SVM 核函数。

 

 

    1. 非线性带来高维转换 (模型角度),$X → Φ(X)$

 

    1. 对偶表示带来内积 (优化角度),$x_i^Tx_j$

 

 

从线性可分到线性不可分

 

如下表中介绍了 感知机 PLA 和 SVM 从线性可分到非线性可分的模型演变结果。

 

 

而在线性不可分的情况下,如果让模型能够变得线性可分?上面已经讲了,从 2 个角度来理解。

 

1. 非线性带来高维转换,引入 $Φ(X)$

 

我们知道高维空间中的特征比低维空间中的特征更易线性可分,这是一个定理,是可以证明的,这里只需要知道就行。

 

那幺,我们就可以想到一个办法,就是把在输入空间中的特征通过一个函数映射到高维空间。

 

 

假设输入空间有一个点 $X=(x_1, x_2)$,是二维的,我们通过一个函数 $Φ(X)$ 将其映射到三维空间 $Z=(x_1,x_2,(x_1-x_2)^2)$,从二维到三维空间中的表示为:

 

 

2. 对偶表示带来内积,引入核函数

 

从另一个角度来看,之前我们已经推导出 SVM 的损失函数,Hard-Margin SVM 的对偶问题中,最终的优化问题只与 X 的内积有关,也即是支持向量有关。

 

 

由此,我们可以将 X 的内积表示为 $Φ(X)$ 的内积 $Φ(x_i)^TΦ(x_j)$。

 

 

而我们现实生活中,可能 $Φ(X)$ 并不是上面举例的三维或者更高维,而是无限维,那幺 的 $Φ(X)$ 将会非常难求。

 

 

换个角度思考,其实我们关心的只是 $Φ(x_i)^TΦ(x_j)$ 的内积,并不关心 $Φ(X)$。有没有一种方法能直接求出内积?答案是有的。

 

我们可以引入核函数 keynel function。

 

 

如上中的一个核函数,我们可以直接求出 X 的内积,避免在高维空间中求 $Φ(x_i)^TΦ(x_j)$。

 

针对核函数,我们可以总结出 3 点。

 

 

    1. 当在线性不可分的时候,我们可以将输入空间中的特征映射到高维空间,来实现线性可分。

 

    1. 在高维空间中,由于计算 $Φ(x_i)^TΦ(x_j)$ 非常困难,因为 $Φ(X)$ 可能有无限维。

 

    1. 因此,我们引入核函数,将原本需要在高维空间计算的内积变成在输入空间计算内积,也能达到一样的效果,从而减小计算。

 

 

核函数存在条件

 

定理:令 $χ$ 为输入空间,$k(⋅,⋅)$ 是定义在 $χ×χ$上的对称函数,则 $k$ 是核函数当且仅当对于任意数据$D=x_1,x_2,⋯,x_m$,“核矩阵” $K$ 总是半正定的:

 

 

定理表明,只要一个对称函数所对应的核矩阵半正定,那幺它就可以作为核函数使用。事实上,对于一个半正定核矩阵,总能找到一个与之对应的映射 $ϕ(X)$。换言之,任何一个核函数都隐式定义了一个称为 “再生核希尔伯特空间” 的特征空间。

 

常见的核函数

 

通过前面的介绍,核函数的选择,对于非线性支持向量机的性能至关重要。但是由于我们很难知道特征映射的形式,所以导致我们无法选择合适的核函数进行目标优化。于是 “核函数的选择” 称为支持向量机的最大变数,我们常见的核函数有以下几种:

 

 

此外,还可以通过函数组合得到,例如:

若 $k_1$ 和 $k_2$ 为核函数,则对于任意正数 $γ_1,γ_2$,其线性组合也是核函数。$γ_1k_1+γ_2k_2$
若 $k_1$ 和 $k_2$ 为核函数,则核函数的直积也是核函数。$k_1⨂k_2(x,z)=k_1(x,z),k_2(x,z)$
若k_1 k 1为核函数,则对于任意函数 $g(x)$ 也是核函数。 $k(x,z)=g(x)k_1(x,z)g(z)$

对于非线性的情况,SVM 的处理方法是选择一个核函数 $κ(⋅,⋅)$,通过将数据映射到高维空间,来解决在原始空间中线性不可分的问题。由于核函数的优良品质,这样的非线性扩展在计算量上并没有比原来复杂多少,这一点是非常难得的。

 

当然,这要归功于核方法——除了 SVM 之外,任何将计算表示为数据点的内积的方法,都可以使用核方法进行非线性扩展。

 

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