神经网络的奥秘之优化器的妙用

之前的文章介绍了,我可以只使用 Numpy 来创建神经网络。这项挑战性工作极大地加深了我对神经网络内部运行流程的理解,还使我意识到影响神经网表现的因素有很多。精选的网络架构、合理的 超参数 ,甚至准确的参数初始化,都是其中一部分。本文将关注能够显着影响学习过程速度与预测准确率的决策──优化策略的选择。本文挑选了一些常用优化器,研究其内在工作机制并进行对比。

 

注:由于我想覆盖的学习材料范围太大,因此文中未列出任何代码段。不过,大家可以在 GitHub 上找到所有用于创建可视化的代码。此外,我还准备了一些 notebook,帮助大家更好地理解本文所讨论的问题。

 

代码地址: https://github.com/SkalskiP/ILearnDeepLearning.py

 

优化

 

 

优化是不断搜索参数以最小化或最大化目标函数的过程。我们通常使用间接优化方法训练机器学习模型,选择一个评价指标(如准确率、精度或召回率)表明模型求解给定问题的优良程度。但是,我们一直在优化不同的成本函数 J(θ),希望最小化成本函数以改善评价指标。毫无疑问,成本函数的选择通常与需要解决的具体问题相关。本质上,这种「有意设计」表明我们与理想解决方案有多远。正如大家所知,这个问题相当复杂,可以再另写一篇主题文章。

 

沿途陷阱

 

结果证明,寻找非凸成本函数最小值通常不太容易,本文应用高级优化策略去定位最小值。如果你学过微积分,就一定知道局部极小值──优化器极易落入的最大陷阱之一。对于那些还不了解局部极小值之美的读者,我只能说局部极小值是给定区域内函数取最小值的点集。如上图左半部分所示,优化器定位的点并非是全局最优解。

 

而「鞍点」问题则被人们认为更具挑战性。当成本函数值几乎不再变化时,就会形成平原(plateau),如上图右半部分所示。在这些点上,任何方向的梯度都几乎为零,使得函数无法逃离该区域。

 

有时候,尤其是在多层网络中,我们必须处理成本函数的陡峭区域。陡峭区域中的梯度增长迅速(也就是梯度爆炸)会引起大步跃迁,通常会破坏先前的优化结果。不过,该问题可以通过梯度裁剪轻松解决。

 

梯度下降

 

在学习高级算法前,我们先来了解一些基本策略。最直接有效的方法之一是向函数上当前点对应梯度的反方向前进,公式如下:

 

 

超参数 α 表示学习率,代表算法每次迭代过程的前进步长。学习率的选择一定程度上代表了学习速度与结果准确率之间的权衡。选择步长过小不利于算法求解,且增加迭代次数。反之,选择步长过大则很难发现最小值。具体过程见图 2,图中展示了不稳定的迭代过程。而选择合适步长后,模型几乎立即发现最小点。

 

 

图 2. 大、小学习率条件下梯度下降过程的可视化。为了易于观察,图中仅展示了最后 10 步的可视化情况。

 

此外,该算法很容易受鞍点问题的影响。因为后续迭代过程的步长与计算得到的梯度成比例,所以我们无法摆脱 plateau。

 

最重要的是,算法由于每次迭代过程中都需要使用整个训练集而变得低效。这意味着,在每个 epoch 中我们都必须考虑所有样本,以确保执行下轮优化。对于只有几千个样本的训练集来说,这也许不是问题。但是,拥有数百万样本的神经网络才能表现最佳。基于此,每次迭代都使用全部数据集令人难以想象,既浪费时间又占用内存。上述原因致使纯粹的梯度下降无法应用于大部分情况。

 

小批量梯度下降

 

 

图 3.梯度下降与小批量梯度下降对比图。

 

我们首先尝试解决上一节提到的最后一个问题──低效性。尽量向量化通过单次处理多个训练样本来加速计算,但在使用百万量级的数据集时优化过程还是需要花费很长时间。此处,我们试用一个简单的方法──将完整数据集切分成许多小批量以完成后续训练。小批量梯度下降的可视化动图见图 3。假设左图的等高线象征需要优化的成本函数。如图所示,由于新算法的待处理数据较少,它能够快速完成优化。我们再看看两个模型的移动轨迹对比。当噪音较少时,梯度下降采取较少步和相对较大的步长。另一方面,小批量梯度下降前进更频繁,但由于数据集的多样性,噪声更多。甚至可能在某次迭代过程中,算法移动的方向与预计方向相反。不过,小批量梯度下降通常一直朝向最小值移动。

 

 

图 4. 将数据集划分为多个批量。

 

大家肯定想知道如何选择批量大小?以深度学习为例,批量大小通常不是绝对的,应参照具体情况。如果批量与整体数据集大小相等,那它就与普通梯度下降无异。另一方面,如果批量为 1,那幺算法每次迭代仅适用数据集中的 1 个样本,这也失去了向量化的意义,该方法有时被称为随机梯度下降。实际情况下,我们通常会选择中间值──64 至 512 个样本。

 

指数加权平均

 

指数加权平均应用广泛,如统计学、经济学,甚至深度学习。即便给定点的梯度为 0,指数加权平均仍能持续优化,所以许多高级神经网络优化算法都采用此概念。

 

 

图 5. 不同 β值的指数加权平均(EWA)图示。

 

 

指数加权平均本质上是对之前的数值求平均值,避免局部波动,关注整体趋势。指数加权平均的计算公式如上所示,其中参数β 控制待平均的数的范围。后续迭代过程中,算法将使用 1/(1 – β) 个样本。β 值越大,平均的样本数越多,图像越平滑。另一方面,图像缓慢右移是因为,平均时间范围较长会使指数加权平均适应新趋势较慢。如图 5 所示,股票实际收盘价与另外 4 条曲线展示了不同 β 值条件下的指数加权平均值。

 

动量梯度下降

 

动量梯度下降利用指数加权平均,来避免成本函数的梯度趋近于零的问题。简单说,允许算法获得动量,这样即使局部梯度为零,算法基于先前的计算值仍可以继续前进。所以,动量梯度下降几乎始终优于纯梯度下降。

 

 

如以往一样,我们使用反向传播计算网络各层的 dW 和 db 值。然而,这次我们没有直接使用计算梯度来更新神经网络参数,我们首先计算 VdW 和 Vdb 的中间值。然后在梯度下降中使用 VdW 和 Vdb。值得注意的是,实现该方法需要记录迭代过程中的指数加权平均值。大家可以在 Github 中看到全部过程。

 

 

图 6.动量梯度下降。

 

我们尝试想象下指数加权平均对模型行为的影响,再想象下成本函数的等高线。上图对比展示了标准梯度下降与动量梯度下降。我们可以看到成本函数图的形态使得优化非常缓慢。以股市价格为例,使用指数加权平均使得算法专注于未来走势而非噪声。最小值分量被放大,振荡分量逐渐消失。此外,如果后续更新过程中所得梯度指向类似方向,则学习率将增加,进而实现更快收敛并减少振荡。然而,动量梯度下降的不足之处在于,每当临近最小点,动量就会增加。如果动量增加过大,算法将无法停在正确位置。

 

RMSProp

 

RMSProp(Root Mean Squared Propagation)是另一种改善梯度下降性能的策略,是最常用的优化器。该算法也使用指数加权平均。而且,它具备自适应性──其允许单独调整模型各参数的学习率。后续参数值基于为特定参数计算的之前梯度值。

 

 

运用图 6 及上述公式,大家来思考下该策略背后的逻辑。顾名思义,每次迭代我们都要计算特定参数的成本函数的导数平方。此外,使用指数加权平均对近期迭代获取值求平均。最终,在更新网络参数之前,相应的梯度除以平方和的平方根。这表示梯度越大,参数学习率下降越快;梯度越小,参数学习率下降越慢。该算法用这种方式减少振荡,避免支配信号而产生的噪声。为了避免遇到零数相除的情况(数值稳定性),我们给分母添加了极小值 ɛ。

 

必须承认,在本篇文章的写作过程中,我有两次异常兴奋的时刻──本文所提及优化器的快速革新让我震惊不已。第一次是当我发现标准梯度下降和小批量梯度下降训练时间的差异。第二次就是现在,比较 RMSprop 与我知道的所有优化器。然而,RMSprop 也有缺点。由于每次迭代过程中公式的分母都会变大,学习率会逐渐变小,最终可能会使模型完全停止。

 

 

图 7.优化器对比。

 

Adam

 

最后,我再说说 ADAM。与 RMSProp 类似,ADAM 应用广泛且表现不俗。它利用了 RMSProp 的最大优点,且与动量优化思想相结合,形成快速高效的优化策略。上图展示了本文讨论的几类优化器在处理函数困难部分的优化过程。Adam 的优异表现一目了然。

 

 

不幸的是,随着优化方法有效性的提高,计算复杂度也会增加。上面列了 10 个描述优化过程单次迭代的矩阵公式。我知道那些数学基础薄弱的读者情绪肯定不高。但是不要担心,它们并不是什幺新内容。这里的公式和前文给出的动量梯度下降和 RMSProp 一样。不过这里我们需要一次性运用这两个策略的思路。

 

总结

 

希望本文能够深入浅出地解释所有难点。在这篇文章的写作过程中,我明白了选择合适优化器的重要性。理解上述算法才能自如地运用优化器,理解每个 超参数 如何改变整个模型的性能。

 

原文链接:https://towardsdatascience.com/how-to-train-neural-network-faster-with-optimizers-d297730b3713

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