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范数的理解。

有关于范数的理解。

 

范数理解(0范数,1范数,2范数)

 

我们可以这样理解,一个集合(向量),通过一种映射关系(矩阵),得到另外一个集合(另外一个向量)。 **范数的本质是距离 ,存在的意义是 实现比较 。因为向量与矩阵无法像标量直接比较大小,因而通过范数(称为函数或者映射也可以)把不能比较的量转换为可以比较的实数。**

 

简单说: 0 范数表示向量中非零元素的个数(即为其稀疏度)。

 

1 范数表示为,绝对值之和。

 

2 范数则指模。

 

向量范数:

 

1-范数 ,即集合元素向量的绝对值之和。 2-范数,欧几里得范数,常用计算向量长度,即向量元素绝对值的平方和再开方,∞范数,即所有向量元素绝对值中的最大值。负无穷范数,即所有向量元素绝对值中的最小值。p范数,即向量元素绝对值的p次方和的1/p次幂。

 

矩阵范数:

 

1-范数: 列和范数 ,即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值。

 

2-范数:谱范数,矩阵 A T A A的最大特征值开平方根 。

 

无穷范数: 行和范数 ,即所有矩阵行向量绝对值之和的最大值。

 

F-范数:即矩阵元素绝对值的平方和再开平方

 

矩阵的核范数:矩阵的奇异值(将矩阵svd分解)之和。

 

矩阵的L0范数:矩阵的非0元素的个数,通常用它来表示稀疏,L0范数越小0元素越多,也就越稀疏.

 

矩阵的L1范数:矩阵中的每个元素绝对值之和,它是L0范数的最优凸近似,因此它也可以表示稀疏

 

矩阵的L2范数:就是F范数。

 

矩阵的L21范数:矩阵先以每一列为单位,求每一列的F范数(也可认为是向量的2范数),然后再将得到的结果求L1范数(也可认为是向量的1范数),很容易看出它是介于L1和L2之间的一种范数。

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