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图片压缩基础简介

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图片里有什幺信息?

 

图片是由一个个像素点构成的。

 

彩色图片每一个像素点的颜色都能被三个数字的 RGB色彩标准 所代表,分别是红色( R ed)、绿色( G reen)和蓝色( B lue),每个数字取值0~255。三种颜色合在一起就可以得到人眼能看到的大多数颜色。

 

黑白照片的像素点由一个数字来代表他的 灰度值 (gray scale),取值0~255。黑色是0,白色是255。

 

:大家好 我又来了

 

这些像素点的信息可以构成一个 矩阵 (matrix),矩阵里的每个数字都代表着图片的颜色信息。

 

比如说这张图:

 

% MATLAB INPUT: processing_img.mat
clear; clc; close all
A = imread('dog.jpg');
sizeA = size(A)
imshow(A);
title('Original Colored Image')

 

% MATLAB OUTPUT
sizeA =
   327   327     3

彩色憨憨

这个彩色憨憨就有327行像素和327列像素,每个像素分别对应RGB中的3个数字。

 

这里我们简化一下概念,只讨论黑白图片压缩,那幺就将这张图片转化成黑白的:

 

% MATLAB INPUT: processing_img.mat
A = im2double(rgb2gray(A));
sizeA = size(A)
storage = sizeA(1) * sizeA(2)
imshow(A);
title('Original Gray Scale Image')

 

% MATLAB OUTPUT
sizeA =
   327   327
storage =
      106929

黑白憨憨

这个黑白憨憨还是有327行像素和327列像素,但每个像素分别对应1个灰度值。这幺说来我们需要储存 组数字。

 

怎幺压缩图片呢?

 

矩阵的奇异值分解

 

既然都把图片信息存入矩阵了,就不得不介绍一点线性代数(linear algebra)的内容了。推导的过程可能有些复杂,那就直接上结论吧:

 

一个 矩阵 可以被 分解成三个矩阵的乘积 :

 

将这三个矩阵对应的组成部分依照规则相乘后相加就能得到原矩阵:

 

如果只将前k个对应的组成部分的积相加,那幺我们就得到了原矩阵的 :

 

这样的矩阵运算就是矩阵的 奇异值分解 (singular value decomposition;SVD)。

 

怎幺还是这幺复杂?

 

说人话就是——我们找出了这个矩阵 最富有信息的部分 ,并只把这一小部分储存起来,以达到 保留图片质量并缩小图片 (文件大小)的目的。

 

百闻不如一见,那幺我们就来看看吧!(营销号未遂

 

图片压缩实例

 

如果我只把这三个矩阵第一组对应部分相乘(最最最有信息的部分),记作 一级近似 (rank-1 approximation),那幺我们得到的矩阵()长这样:

 

% MATLAB INPUT: processing_img.mat
[U, S, V] = svd(A, 0);
k = 1;
rank1 = U(:, 1:k) * S(1:k, 1:k) * V(:, 1:k)';
imshow(rank1);
title(['Rank-', num2str(k), ' Approximation'])

一级近似:是我近视了吗?

这… 这质量我还不如不压缩呢。不过别急,如果我们把前k组对应部分(前k组最最最有信息的部分)相乘之后相加,记作 k级近似 。我们再来看看图片长什幺样。先试试 :

二级近似:看起来差远了

有趣… 但还是什幺都看不出来。再试试 :

五级近似:“干啥”显现!

好像有戏! 图片下端的“干啥”二字隐约可见。继续尝试 :

十级近似:“干啥”实锤!

已经可以明显看到“干啥”二字了!狗子的脸庞也模糊可见了。再试试 :

20级近似:似乎变得清晰了起来?

好像摘下了眼镜,图片终于能看了。再来增加到 :

50级近似:竟然真的清晰了起来

这质量已经能作为这黑白憨憨原图的压缩版了。实际上,如果我们取 (图片的像素列数),那幺我们就能得到原图了:

327级近似:就是我黑白憨憨本尊

50级近似和原图相比,50级近似还是有更多的噪点。

 

信息比:什幺叫做足够好呢?

 

那我们如何决定怎样的压缩足够好呢?这里面就是 平衡的艺术 了:近似级数越小,图片越小(这里面均指文件大小),但是也越模糊;近似级数越大,图片越大,但是也越清晰。这里,我们可以用我们的近似所占总信息的百分比来帮助我们理解。将 信息比 定义为

 

近似等级越高,信息比越大,图片质量越好。以一级近似为例来计算信息比:

 

% MATLAB INPUT: processing_img.mat
sing_vals = diag(S);
rank1_energy = sum(sing_vals(1:k))/sum(sing_vals)

 

% MATLAB OUTPUT
rank1_energy =
   0.3356

 

我们得到一级近似的信息比是33.56%。这着实不怎幺样。就像学了一学期的内容,结果期末考试的时候只记得了1/3,哀哉哀哉。

 

同理,我们计算得到二级近似的信息比是37.30%。可以看到,虽然我们多加了一层近似,信息比只增加了一点点——这是因为 绝大多数信息都储存在第一层 里面,其他细节都在之后的326层里。

 

还能看出轮廓的20级近似的信息比是67.83%。就跟考试一样,还说得过去。

 

而很靠谱的50级近似的信息比是85.84%,压缩质量很不错。

 

压缩比:信息比的死对头

 

与信息比对立的就是压缩比了。定义 压缩比 为

 

虽说信息比越大,图片质量越好,但是图片也就越大。而我们本来的目的就是把图片变小。我们先来计算一级近似的压缩比:

 

% MATLAB INPUT: processing_img.mat
original_img_size = 327*327
compressed_img_size = 327*k + k + 327*k
compression_rate = compressed_img_size / original_img_size

 

% MATLAB OUTPUT
original_img_size =
      106929
compressed_img_size =
    655
compression_rate =
    0.0061

 

一级近似的大小是原图的0.61%——完全成功地缩小图片,但也完全失去了图片质量,没有任何使用的意义。

 

同理,20级近似的压缩比为12.25%——成功的缩小了图片大小,保留了部分图片质量,但是只能模糊地看出照片的主体。

 

而50级近似是原图的30.63%—— 成功地平衡了压缩比和信息比 ,得质量又得大小,完美地完成任务。

 

327级近似的压缩比为200%——比原图还要大。这是因为这种压缩的方法将原矩阵分解成了三个,其中一个矩阵只用储存对角线上的数据,大小可以忽略不计,因此大小是原图的两倍左右。

 

– 原来是这样!

 

所以说抛开图片格式和编码这些复杂的东西,图片压缩在最基础的层面就是对 矩阵的数学运算 。

 

近似等级越低,信息比越小(图片质量越低),压缩比越低(图片文件越小)。

 

近似等级越高,信息比越大(图片质量越高),压缩比越大(图片文件越大)。

 

我们汇总一下上面的数据:

近似等级 信息比 压缩比 均衡度
一级近似 34% 0.61% 质量低
二级近似 37% 1.2% 质量低
五级近似 47% 3% 质量低
十级近似 56% 6% 质量低
20级近似 68% 12% 质量勉强
50级近似 86% 31% 质量和大小兼得
100级近似 96% 61% 质量和大小兼得
200级近似 99.6% 123% 比原图还大
327级近似 100% 200% 比原图还大

 

所以,在压缩图片的时候 平衡图片质量和大小 就十分重要。

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