逻辑回归——详细概述

逻辑回归在20世纪早期被用于生物科学。它后来被用于许多社会科学应用。因变量(目标)为分类变量时采用Logistic回归。

例如,

预测电子邮件是垃圾邮件(1)还是(0)
肿瘤是否恶性(1)(0)

考虑一个场景，我们需要对电子邮件是否为垃圾邮件进行分类。如果我们用线性回归来解决这个问题，就需要设置一个阈值，根据这个阈值可以进行分类。假设实际类为恶性，预测连续值为0.4，阈值为0.5，则将数据点划分为非恶性，会导致严重后果。

从这个例子可以推断线性回归不适合分类问题。线性回归是无界的，这将逻辑回归引入图像。它们的值严格从0到1。

简单线性回归

完整的源代码：

https://github.com/SSaishruthi/LogisticRegression_Vectorized_Implementation/blob/master/Logistic_Regression.ipynb

模型 输出：0或者1 假设：Z=WX+B

如果Z→∞，Y(预测值)= 1，如果Z→-∞，Y(预测值)= 0。

假设分析

假设的输出是估计的概率。这是用来推断当给定输入x时，预测值是实际值的可信度。

X = [x0 x1] = [1 IP-Address]

根据x1值，假设我们得到的估计概率是0。8。这说明电子邮件有80%的可能是垃圾邮件。

数学可以写成：

这说明了“逻辑回归”这个名称的合理性。数据拟合为线性回归模型，再通过logistic函数对目标分类因变量进行预测。

逻辑回归的类型

1. 二元逻辑回归：分类反应只有两种可能结果。例子:垃圾邮件或非垃圾邮件

1. 多项逻辑回归：三个或更多的类别，没有排序。例子:预测哪种食物更受欢迎(素食，非素食，纯素食)

1. 顺序逻辑回归：三个或更多类别的排序。例子:电影分级从1到5

决策边界

为了预测数据点属于哪个类别，可以设置一个阈值。根据这个阈值，将获得的估计概率划分为类别。

如果predicted_value≥0.5,电子邮件邮件分类为垃圾邮件反之不是。 决策边界可以是线性的，也可以是非线性的。多项式阶增加以获得复杂的决策边界。

代价函数

为什幺用于线性的代价函数不能用于逻辑回归?

线性回归以均方误差为代价函数。如果将其用于逻辑回归，则为参数的非凸函数。只有当函数为凸函数时，梯度下降才收敛到全局最小值。

代价函数的解释

简化的代价函数

为什幺这是代价函数

这个负函数是因为当我们训练时，我们需要通过最小化损失函数来最大化概率。假设样本来自相同独立分布，降低成本会增加样本的最大似然。

推导梯度下降算法的公式

Python实现

def weightInitialization(n_features):
    w = np.zeros((1,n_features))
    b = 0
    return w,b
def sigmoid_activation(result):
    final_result = 1/(1+np.exp(-result))
    return final_result
def model_optimize(w, b, X, Y):
    m = X.shape[0]
    
    #Prediction
    final_result = sigmoid_activation(np.dot(w,X.T)+b)
    Y_T = Y.T
    cost = (-1/m)*(np.sum((Y_T*np.log(final_result)) + ((1-Y_T)*(np.log(1-final_result)))))
    #
    
    #Gradient calculation
    dw = (1/m)*(np.dot(X.T, (final_result-Y.T).T))
    db = (1/m)*(np.sum(final_result-Y.T))
    
    grads = {"dw": dw, "db": db}
    
    return grads, cost
def model_predict(w, b, X, Y, learning_rate, no_iterations):
    costs = []
    for i in range(no_iterations):
        #
        grads, cost = model_optimize(w,b,X,Y)
        #
        dw = grads["dw"]
        db = grads["db"]
        #weight update
        w = w - (learning_rate * (dw.T))
        b = b - (learning_rate * db)
        #
        
        if (i % 100 == 0):
            costs.append(cost)
            #print("Cost after %i iteration is %f" %(i, cost))
    
    #final parameters
    coeff = {"w": w, "b": b}
    gradient = {"dw": dw, "db": db}
    
    return coeff, gradient, costs
def predict(final_pred, m):
    y_pred = np.zeros((1,m))
    for i in range(final_pred.shape[1]):
        if final_pred[0][i] > 0.5:
            y_pred[0][i] = 1
    return y_pred

成本与迭代次数

系统的训练和测试精度为100% 此实现用于二元逻辑回归。对于超过两个类的数据，必须使用softmax回归。 完整的代码:

**https://github.com/SSaishruthi/LogisticRegression_Vectorized_Implementation/blob/master/Logistic_Regression.ipynb **

作者：Saishruthi Swaminathan 原文链接 ： https://towardsdatascience.com/logistic-regression-detailed-overview-46c4da4303bc