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迁移学习:领域自适应的理论分析

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作者丨小蚂蚁曹凯@知乎

 

来源丨https://zhuanlan.zhihu.com/p/50710267

领域自适应 即 Domain Adaptation ,是迁移学习中很重要的一部分内容。目的是把分布不同的源域和目标域的数据,映射到一个特征空间中,使其在该空间中的距离尽可能近。于是在特征空间中对source domain训练的目标函数,就可以迁移到target domain上,提高target domain上的准确率。我最近看了一些理论方面的文章,大致整理了一下,交流分享。

 

背景

 

想必大家对GAN都不陌生,GAN是基于对抗的生成网络,主要目标是生成与训练集分布一致的数据。而在迁移学习领域,对抗也是一种常用的方式,如Ganin[1]的论文,使用的网络结构如下图, 由三部分组成: 特征映射网络 , 标签分类网络 和 域判别网络 。

其中,source domain的数据是有标签的,target domain的数据是无标签的。将source和target domain的数据都映射到一个特征空间上,预测标签y,预测数据来自于target还是source domain。所以流入的是带标签的source数据,流入的是不带标签的source和target的数据。

 

:将数据映射到feature space,使能分辨出source domain数据的label,分辨不出数据来自source domain还是target domain。

 

: 对feature space的source domain数据进行分类,尽可能分出正确的label。

 

:对feature space的数据进行领域分类,尽量分辨出数据来自于哪一个domain。

 

最终,希望与博弈的结果是source和target domain的数据在feature space上分布已经很一致,无法区分。于是,可以愉快的用来分类target domain的数据啦。

 

理论分析

 

首先Domain Adaptation基本思想是既然源域和目标域数据分布不一样,那幺就把数据都映射到一个特征空间中,在特征空间中找一个度量准则,使得源域和目标域数据的特征分布尽量接近,于是基于源域数据特征训练的判别器,就可以用到目标域数据上。

 

问题建立

 

假设是一个实例集(instance set)。

 

是一个特征空间(feature space)。

 

是定义在上的源域数据分布,是定义在上的源域特征分布。

 

、一样定义目标域数据分布和特征分布。

 

:是表示函数(representation function)将实例映射到上,即上图的。

 

:是真实的标签函数,是二值函数。我们并不知道是什幺,希望通过训练得到它。

 

:是我们自己设计的预测函数,,给定一个特征,得到一个其对应的标签,即上图的。

 

: 二值函数的集合,。

 

接下来需要定义特征到标签的真实映射函数:

 

注 :这边 是随机的是因为,即使 是确定的映射,给定特征 的情况下, 也有可能以不同的概率来自于不同的

 

那幺我们自己设计的预测函数在源域上的错误率:

 

度量准则

 

接着就需要设计一个度量准则,度量通过映射到特征空间的特征分布、之间的距离。这个距离必须满足的条件是:能通过有限个样本数据计算。

 

这边找到距离叫距离,如下:

 

其中花体是波莱尔集,是其一个子集。意思就是取遍所有的子集,找出在、上的概率差的最大值。

 

给一个具体的取值,

 

则此时的距离可记作距离:

 

给一个简单的例子,如下:

两个高斯分布分别代表源域和目标域的特征分布。由于要取上确界,所以找到的集合为。

 

在距离的基础上,再定义距离:

 

,,XOR operator

 

简单例子如下:

于是,可以用下面的界限定:

 

其中,函数集合 只要取的比 集合 复杂即可,这个很容易达到,我们只需把神经网络设计的复杂一些就行。

 

从最后的式子来看,如果我们能一个在复杂度足够(能够实现比异或更复杂的操作)的函数类中,找到一个函数,使得将来自于的特征都判为1,将来自于的特征都判为0的概率最大,那幺我们就能得到的上界。

 

其实这边的就是最开始图中红色的那部分网络啦!

 

误差界

 

好了,有了度量准则,那幺下面就要介绍最重要的一个定理了。

 

Theorem: Let R be a fixed representation function fromto,is a binary function class, for every:

 

where,

 

这个定理说的是,我们训练得到的分类函数在目标域数据上的错误率,被三个项所限定。第一项是在源域上的错误率。第二项是通过将源域、目标域数据都映射到特征空间后,两者特征分布的距离, 即距离。第三项是一个常数项可以不管。

 

如果把这些字母都加到开始的图上:

可以看出,要降低,表示函数(即)承担两项任务,需要降低在源域上的错误率,还需要减小距离。而(即)承担一项任务目标,就是降低在源域上的错误率。

 

对于(即),要做的就是尽量能取到中的上确界,让自己尽量能代表这个距离。其实,我个人想法,这边严格来说并不存在对抗,并不是一个坏蛋想要增大我们的错误率,它只是在默默的做自己本职的工作,想取到上确界,让自己能代表这个距离。而也不是去妨碍去取上确界,而且想减小上确界本身。

 

到此,三个网络为什幺这幺设计应该就很清楚了叭!(至少我觉得讲清楚了233333,当然,最重要的定理的证明我省略了,有兴趣看下面参考的论文。)

 

实际计算

 

如果引入VC维那一套关于泛化误差的理论,可以得到如下结论:

 

以概率成立

 

是经验损失,可以通过有限数据计算。

 

是源域数据个数,是VC维的维数,是自然底数。

 

以概率成立。

 

可以通过给定数据计算。表示源域和目标域数据个数。

 

最终,我们的误差界由下式界定:

 

定理证明

 

Theorem: Let R be a fixed representation function fromto,is a binary function class, for every:

 

where,

 

proof:

 

令表示特征空间中被判为类别1的那些特征的集合。

 

则有:

 

这里的是亦或,也就是意见不一致的特征组成的集合,即:

 

所以为什幺不等式(1)成立?因为第一项是的错误率,包含意见一致时的判断错误的情况,第二项是意见不一致时的概率,包含意见不一致时判断错误的概率。所以所有判断错误的概率,都包含在后面两项中!

 

继续往下推:

 

这一步就没什幺好说的了,就是一个数的绝对值大于等于其本身。

 

不等式(2)的第二项是在源域上,意见不一致的概率。一旦意见不一致,那幺必然有一方是错的,所以这项必然小于和的错误率之和:

 

根据上文

 

所以不等式(2)的第三项

 

所以综合不等式(1-4),有:

 

定理得证。

 

参考论文

 

 

Ben-David, Shai, Blitzer, John, Crammer, Koby, and Pereira, Fernando. Analysis of representations for domain adaptation. In NIPS, pp. 137–144, 2006.

 

Ben-David, Shai, Blitzer, John, Crammer, Koby, Kulesza, Alex, Pereira, Fernando, and Vaughan, Jennifer Wort-man. A theory of learning from different domains. JMLR, 79, 2010.

 

Yaroslav Ganin, Evgeniya Ustinova, Hana Ajakan, Pascal Germain, Hugo Larochelle, Fran¸cois Laviolette, Mario Marchand, Victor Lempitsky. Domain-Adversarial Training of Neural Networks. Journal of Machine Learning Research 17 (2016) 1-35

 

Ganin, Y., Lempitsky, V.: Unsupervised domain adaptation by backpropagation. arXiv preprint arXiv:1409.7495 (2014)

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