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借助可视化,最直观理解梯度,以及偏导数、方向导数和法向量等

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作者丨[email protected]博客园

 

来源丨https://www.cnblogs.com/shine-lee/p/11715033.html

写在前面

 

梯度是微积分中的基本概念,也是机器学习解优化问题经常使用的数学工具(梯度下降算法),虽然常说常听常见,但其细节、物理意义以及几何解释还是值得深挖一下,这些不清楚,梯度就成了“熟悉的陌生人”,仅仅“记住就完了”在用时难免会感觉不踏实,为了“用得放心”,本文将尝试直观地回答以下几个问题,

 

梯度与偏导数的关系?

 

梯度与方向导数的关系?

 

为什幺说梯度方向是上升最快的方向,负梯度方向为下降最快的方向?

 

梯度的模有什幺物理意义?

 

等高线图中绘制的梯度为什幺垂直于等高线?

 

全微分与隐函数的梯度有什幺关系?

 

梯度为什幺有时又成了法向量?

 

闲话少说,书归正传。 在全篇“作用域”内,假定函数可导。

 

偏导数

 

在博文《单变量微分、导数与链式法则》( https://www.cnblogs.com/shine-lee/p/10324601.html )中,我们回顾了常见初等函数的导数,概括地说,

 

导数是一元函数的变化率(斜率)。导数也是函数,是函数的变化率与位置的关系。

 

如果是多元函数呢?则为 偏导数 。

 

偏导数是多元函数“退化”成一元函数时的导数,这里“退化”的意思是 固定其他变量的值,只保留一个变量 ,依次保留每个变量,则  元函数有 个偏导数。

 

以二元函数为例,令 ,绘制在3维坐标系如下图所示,

在分别固定和 的取值后得到下图中的黑色曲线——“退化”为一元函数,二维坐标系中的曲线——则 偏导数 和 分别为 曲线的导数(切线斜率) 。

由上可知,一个变量对应一个坐标轴, 偏导数为函数在每个位置处沿着自变量坐标轴方向上的导数(切线斜率) 。

方向导数

 

如果是方向不是沿着坐标轴方向,而是任意方向呢?则为 方向导数 。如下图所示,点 位置处红色箭头方向的方向导数为黑色切线的斜率,来自链接

 

Directional Derivative

 

https://www.geogebra.org/m/Bx8nFMNc

方向导数为函数在某一个方向上的导数,具体地,定义 平面上一点(  以及单位向量 在曲面  上, 从点  出发,  沿 方向走  单位长度后, 函数值  为  则点  处  方向的方向导数为 :

 

上面推导中使用了链式法则。其中,和 分别为函数在 位置的偏导数。由上面的推导可知:

 

该位置处,任意方向的 方向导数为偏导数的线性组合,系数为该方向的单位向量 。当该方向与坐标轴正方向一致时,方向导数即偏导数,换句话说, 偏导数为坐标轴方向上的方向导数,其他方向的方向导数为偏导数的合成 。

 

写成向量形式, 偏导数构成的向量 为 称之为

 

梯度

 

梯度,写作二元时为 多元时为 。

 

我们继续上面方向导数的推导, 处  方向上的方向导数为

 

其中,  为  与  的夹角,显然,当  即  与梯度  同向时,方向导数取得最大值,最大值为梯度 的模   当  即  与梯度  反向时, 方向导数取得最小值,最小值为梯度模的相反数。 此外 根据上面方向导数的公式可知,在夹角  时方向导数为正,表示  方向函数值上升,  时方向导数为负, 表示该方向函数值下降。

 

至此,方才有了 梯度的几何意义 :

 

 

当前位置的 梯度方向 ,为函数在该位置处 方向导数最大的方向 ,也是函数值 上升最快的方向 ,反方向为下降最快的方向;

 

当前位置的 梯度长度(模) ,为最大方向导数的值。

 

 

等高线图中的梯度

 

在讲解各种优化算法时,我们经常看到目标函数的等高线图示意图,如下图所示,来自链接

 

Applet: Gradient and directional derivative on a mountain

 

https://mathinsight.org/applet/gradient_directional_derivative_mountain

图中,红点为当前位置,红色箭头为梯度,绿色箭头为其他方向,其与梯度的夹角为。

 

将左图中曲面上的等高线投影到 平面,得到右图的等高线图。

 

梯度与等高线垂直。为什幺呢?

 

,顾名思义,即这条线上的点高度(函数值)相同,令某一条等高线为C为常数,两边同时全微分,如下所示

 

这里, 两边同时全微分的几何含义是,在当前等高线上挪动任意一个极小单元,等号两侧的变化量相同 。 的 变化量有两个来源,一个由x的变化带来,另一个由y的变化带来,在一阶情况下,由 带来的变化量为 由 带来的变化量为 两者叠加为z的总变化量,等号右侧为常数,因为我们指定在当前等高线上挪动一个极小单元,其变化量为0,左侧等于右侧。进一步拆分成向量内积形式,( )为梯度, 为该点指向任意方向 的极小向量,因为两者内积为0,所以两者垂直。自然不难得出 梯度与等高线垂直 的结论。

 

更进一步地,梯度方向指向函数上升最快的方向,在等高线图中, 梯度指向高度更高的等高线 。

 

隐函数的梯度

 

同理,对于隐函数也可以看成是一种等高线。二元时,两边同时微分,梯度垂直于曲线,多元时,两边同时微分,梯度垂直于高维曲面。

 

即,隐函数的梯度为其高维曲面的法向量。

 

有了法向量, 切线或切平面 也就不难计算得到了。令曲线 上一点为 通过全微分得该点的梯度为 则该点处的切线为 相当于将上面的微分向量 替换为 其几何意义为法向量垂直切平面上的任意向量。

 

小结

 

至此,文章开篇几个问题的答案就不难得出了,

 

偏导数构成的向量为梯度;

 

方向导数为梯度在该方向上的合成,系数为该方向的单位向量;

 

梯度方向为方向导数最大的方向,梯度的模为最大的方向导数;

 

微分的结果为梯度与微分向量的内积

 

等高线全微分的结果为0,所以其梯度垂直于等高线,同时指向高度更高的等高线

 

隐函数可以看成是一种等高线,其梯度为高维曲面(曲线)的法向量

 

以上。

 

参考

 

Gradients and Partial Derivatives

 

Directional Derivative

 

Applet: Gradient and directional derivative on a mountain

 

Gradient descent

 

Gradient

 

Partial derivative

 

ppt Partial derivative

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