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最小熵原理:“物以类聚”之从图书馆到词向量

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从第一篇看下来到这里,我们知道 所谓“最小熵原理”就是致力于降低学习成本,试图用最小的成本完成同样的事情。 所以整个系列就是一个“偷懒攻略”。那偷懒的秘诀是什幺呢?答案是“套路”,所以本系列又称为“套路宝典”。

 

“最小熵系列”前文回顾:

 

从无监督构建词库看最小熵原理,套路是如何炼成的

 

再谈最小熵原理:“飞象过河”之句模版和语言结构

 

本篇我们介绍图书馆里边的套路。

 

先抛出一个问题: 词向量出现在什幺时候? 是 2013 年 Mikolov 的 ?还是 2003 年 Bengio 大神的神经语言模型?都不是,其实词向量可以追溯到千年以前,在那古老的图书馆中。

 

▲ 图书馆一角(图片来源于百度搜索) 走进图书馆

 

图书馆里有词向量?还是千年以前?在哪本书?我去借来看看。

 

放书的套路

 

其实不是哪本书,而是放书的套路。 很明显,图书馆中书的摆放是有“套路”的:它们不是随机摆放的,而是分门别类地放置的,比如数学类放一个区,文学类放一个区,计算机类也放一个区;同一个类也有很多子类,比如数学类中,数学分析放一个子区,代数放一个子区,几何放一个子区,等等。 读者是否思考过,为什幺要这幺分类放置?分类放置有什幺好处?跟最小熵又有什幺关系?

 

有的读者可能觉得很简单:不就是为了便于查找吗?这个答案其实不大准确。如果只是为了方便找书,那很简单,只要在数据库上记录好每一本书的坐标,然后在地面上也注明当前坐标,这样需要借哪本书,在数据库一查坐标,然后就可以去找到那本书了,整个过程不需要用到“图书分类”这一点。所以,如果单纯考虑找书的难易程度,是无法很好的解释这个现象。

 

省力地借书

 

其实原因的核心在于: 我们通常不只是借一本书。

 

前面说了,只要建好索引,在图书馆里找一本书是不难的,问题是:如果找两本呢?一般情况下,每个人的兴趣和研究是比较集中的,因此,如果我要到图书馆借两本书,那幺可以合理地假设你要借的这两本书是相近的,比如借了一本《神经网络》,那幺再借一本《深度学习》的概率是挺大的,但再借一本《红楼梦》的概率就很小了。

 

借助于数据库,我可以很快找到《神经网络》,那幺《深度学习》呢?如果这本书在附近,那幺我只需要再走几步就可以找到它了,如果图书是随机打乱放置的,我可能要从东南角走到西北角,才找到我想要的另一本书《深度学习》,再多借几本,我不是要在图书馆里跑几圈我才能借齐我要的书?

 

这样一来,图书分类的作用就很明显了。 图书分类就是把相近的书放在一起,而每个人同一次要借的书也会相近的,所以图书分类会让大多数人的找书、借书过程更加省力。 这又是一个“偷懒攻略”。

 

也就是说,将我们要处理的东西分类放好,相近的放在一起,这也是满足最小熵原理的。生活中我们会将常用的东西分类放在触手可及的地方,也是基于同样的原理。

 

图书馆规划

 

下面我们再来从数学角度,更仔细地考察这个过程。

 

简化的借书模型

 

假如我们到图书馆去借两本书,分别记为 i,j,假设借第一本书的成本是 d(i),两本书之间的成本函数为 d(i,j),这也就是说,找到第一本书 i 后,我就要再花 d(i,j) 那幺多力气才能找到第二本书 j。我们可以考虑这个过程对所有人的平均,即:

 

其中 p(i) 是 i 这本书被借的概率,p(j|i) 就是借了 i 之后还会再借 j 的概率。图书馆的要把书放好,那幺就要使得 S 最小化。

 

现在我们以图书馆入口为原点,在图书馆建立一个三维坐标系,那幺每本书的位置都可以用一个向量 v 来表示,不失一般性,我们可以简单考虑 d(i) 为这本书到图书馆原点的欧氏距离,d(i,j) 为两本书的欧氏距离,那幺 S 的表达式变为:

 

让我们再来解释一下各项的含义,其中 (i,j) 代表着一种借书习惯,即借了书 i 还借书 j,p(i,j) 代表着这种借书习惯出现的概率,实际生活中可以通过图书馆的借书记录去估算它;‖vi‖+‖vi−vj‖ 则代表着先借 i 再借 j 的总成本。其中 ‖vi‖ 这一项要尽量小,意味着我们要将热门的书放在靠近出口(原点)的地方;而 ‖vi−vj‖ 要尽量小,则告诉我们要把相近的书放在一起。

 

约束优化规划

 

假如我们拿到了图书馆的借书记录,也就是说已知 p(i,j) 了,那幺是不是可以通过最小化 (2) 来得到图书馆的“最佳排书方案”了呢?思想对了,但还不完整,因为很显然式 (2) 的最小值是 0,只需要让所有的 v 都等于 0,也就是说,所有的书都挤在出口的位置。

 

显然这是不可能的,因为实际上书不是无穷小的,两本书之间有一个最小间距 dmin>0,所以完整的提法应该是:

 

 

也就是说,这是一个带约束的极值问题,解决了这个问题,我们就可以得到图书馆对图书的最合理安排了(理论上)。当然,如果真的去给图书馆做规划,我们还要根据图书馆的实际情况引入更多的约束,比如图书馆的形状、过道的设置等,但 (3) 已经不妨碍我们理解其中的根本思想了。

 

一般成本最小化

 

现在我们再将问题一般化,从更抽象的视角来观察问题,能得到更深刻的认识。

 

均匀化与去约束

 

我们先将成本函数 ‖vi‖+‖vi−vj‖ 代换为一般的 f(vi,vj),即考虑:

 

同时 v 可以不再局限为 3 维向量,可以是一般的 n 维向量。我们依旧是希望成本最低,但是我们不喜欢诸如 ‖vi−vj‖≥dmin 的约束条件,因为带约束的优化问题往往不容易求解,所以如果能把这个约束直接体现在 f 的选择中,那幺就是一个漂亮的“去约束”方案了。

 

怎幺实现这个目的呢?回到图书馆的问题上,如果没有约束的话,理论最优解就是把所有图书都挤在出口的位置,为了防止这个不合理的解的出现,我们加了个约束“两本书之间有一个最小间距 dmin>0”,防止了解的坍缩。其实有很多其他约束可以考虑, 比如可以要求所有图书必须尽量均匀地放满图书馆,在这个希望之下,也能够得到合理的解。

 

“尽量均匀”其实可以理解为某种归一化约束,因为归一,所以不能全部集中在一点,因为只有一点就不归一了。“归一”启发我们可以往概率的方向想,也就是说,先构造概率分布,然后作为成本函数的度量。在这里就不做太多牵强的引导了,直接给出其中一个选择:

 

 

最小熵=最大似然

 

让我们来分步理解一下这个式子。首先如果不看分母 Zi,那幺结果就是:

 

 

也就是说,这个 f 相当于成本函数为 。然后,由于分母的存在,我们知道:

 

 

所以 实际上定义了一个待定的条件概率分布q(j|i),说白了,这实际上就是对 的一个 softmax 操作,而此时 (4) 实际上就是:

 

 

对于固定的 i 而言,最小化上式这不就是相当于最大对数似然了吗?所以结果就是 q(j|i) 会尽量接近 p(j|i),从而全部取 0 不一定就是最优解的,因为全部取 0 对应着均匀分布,而真实的 p(j|i) 却不一定是均匀分布。

 

现在再来想想,我们从最小成本的思想出发,设计了一个具有概率的负对数形式的 f(vi,vj),然后发现最后的结果是最大似然。这个结果可以说是意料之外、情理之中,因为 −logq(j|i) 的含义就是熵,我们说要最大似然,就是要最小化式 (8),其含义就是最小熵了。最大似然跟最小熵其实具有相同的含义。

 

Word2Vec

 

只要稍微将对象一转变,Word2Vec 就出来了,甚至 everything2vec。

 

多样的度量

 

纯粹形式地看,式 (5) 的选择虽然很直观,但并不是唯一的,可取的选择还有:

 

 

这以内积为距离度量,希望相近的对象内积越小越好。

 

Skip Gram

 

事实上,如果 i,j 分别代表句子窗口里边的一个词,那幺式 (9) 就对应了着名的词向量模型——Word2Vec 的 Skip Gram 模型了,也就是说,最小化:

 

 

这正好是 Word2Vec 的 Skip Gram 模型的优化目标。

 

注:Word2Vec 实际上对上下文向量和中心词向量做了区分,也就是用了两套词向量,但这里为了直观理解其中的思想,我们就不区别这一点。

 

原理类比分析

 

等等,怎幺突然就出来词向量了?

 

我们再重新捋一下思路:是这样的,我们把每个词当作一本书,每个句子都可以看成每个人的“借书记录”,这样我们就能知道哪两本“书”经常被一起借了是吧?

 

按照我们前面讨论了一大通的图书馆最佳放书方案,我们就可以把“书”的最佳位置找出来,理论上用 (3),(5) 或 (9) 都可以,这就是词向量了。如果用式 (9),就是 Word2Vec 了。

 

反过来,找出一个最佳放书方案也就简单了,把图书馆的每个人的借书记录都当成一个句子,每本书当成一个词,设置词向量维度为 3,送入 Word2Vec 训练一下,出来的词向量,就是最佳放书方案了。那些 doc2vec、node2vec、everything2vec,基本上都是这样做的。

 

所以,开始的问题就很清晰了: 将图书馆的每本书的三维坐标记录下来,这不就是一个实实在在的“book embedding”?相近的书的向量也相近呀,跟词向量的特性完美对应。 所以,自从有了图书馆,就有了 embedding,尽管那时候还没有坐标系,当然也没有计算机。

 

再来看看t-SNE

 

有了“借书记录”,也就是 p(j|i),p(i),我们就可以照搬上述过程,得到一个“最佳位置规划”,这就是向量化的过程。

 

如果没有呢?

 

SNE

 

那就造一个出来呀!比如我们已经有了一堆高维样本 x1,x2,…,xN,它们可以是一堆图像数据集,我们想要得到一个低维表示 z1,z2,…,zN。我们构造一个:

 

 

然后还是用式 (5) 作为成本函数(假设 p(i) 是常数,即均匀分布,同时求和不对自身进行),去优化 (4),即:

 

 

这便是称为 SNE 的降维方法了。一般来说它还有一些变种,我们就不细抠了,这也不是本文的重点,我们只需要理解基本思想。

 

SNE 本质上就是尽量保持相对距离的一种降维方案。因为它保持的是相对距离,保持了基本的形状不变,所以降维效果比 PCA 等方法要好。原因是 PCA 等方法仅仅保留主成分,只适用于比较规则的数据(比如具有中心聚拢特性、各向同性的),SNE 的思想可以适用于任意连通形状。

 

 

前面说得 SNE 已经体现出降维思想了。但是它会有一些问题,主要的就是“Crowding 问题”。

 

这个“Crowding 问题”,简单来看,就是因为低维分布 (5) 也是距离的负指数形式,负指数的问题就是在远处迅速衰减到 0,而 (5) 中的 v 是我们要求解的目标,这样一来优化结果是所有的点几乎都拥挤(Crowding)在某处附近(因为指数衰减,距离较远的点几乎不会出现),效果就不够好了。

 

为了解决这个问题,我们可以把式 (5) 换成衰减没那幺快的函数,比如说简单的分式:

 

 

这称为 t 分布。

 

式 (13)、式 (11) 和式 (4) 结合,就是称为 t-SNE 的降维方法,相比 SNE,它改善了 Crowding 问题。

 

当然,t-SNE 与 SNE 的差别,其实已经不是本文的重点了,本文的重点是揭示 SNE 这类降维算法与 Word2Vec 的异曲同工之处。

 

虽然在深度学习中,我们直接用 t-SNE 这类降维手段的场景并不多,哪怕降维、聚类都有很多更漂亮的方案了,比如降维可以看这篇 深度学习中的互信息:无监督提取特征 、聚类可以看这个 变分自编码器VAE:一步到位的聚类方案 。但是 t-SNE 的本质思想在很多场景都有体现,所以挖掘并体味其中的原理,并与其它知识点联系起来,融汇成自己的知识体系,是一件值得去做的事情。

 

本文总结

 

本文基于最小成本的思想,构建了一个比较理想化的模型来分析图书馆的图书安排原理,进而联系到了最小熵原理,并且思考了它跟 Word2Vec、t-SNE 之间的联系。

 

就这样,又构成了最小熵原理的一个个鲜活例子: 物以类聚、分门别类,都能降低成本。 比如我们现在可以理解为什幺预训练词向量能够加快 NLP 任务的收敛、有时还能提升最终效果了,因为词向量事先将词摆在了适合的位置,它的构造原理本身就是为了降低成本。

 

同时,将很多看似没有关联的东西联系在一起,能够相互促进各自的理解,达到尽可能融会贯通的效果,其妙不言而喻。

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