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引入鲁棒性作为连续参数,这种新的损失函数实现了自适应、随时变换

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这篇文章对 CVPR 2019 的一篇论文《A General and Adaptive Robust Loss Function》进行了回顾性综述,主要讲述了为机器学习问题开发鲁棒以及自适应的损失函数。论文作者为谷歌研究院的研究科学家 Jon Barron。

 

 

论文地址:https://arxiv.org/pdf/1701.03077.pdf

 

异常值(Outlier)与鲁棒损失

 

考虑到机器学习问题中最常用的误差之一——均方误差(Mean Squared Error, MSE),其形式为:(y-x)²。该损失函数的主要特征之一是:与小误差相比,对大误差的敏感性较高。并且,使用 MSE 训练出的模型将偏向于减少最大误差。例如,3 个单位的单一误差与 1 个单位的 9 个误差同等重要。

 

下图为使用 Scikit-Learn 创建的示例,演示了在有 / 无异常值影响的情况下,拟合是如何在一个简单数据集中变化的。

 

 

MSE 以及异常值的影响。

 

如上图所示,包含异常值的拟合线(fit line)受到异常值的较大影响,但是优化问题应要求模型受内点(inlier)的影响更大。在这一点上,你可能认为平均绝对误差(Mean Absolute Error, MAE)会优于 MSE,因为 MAE 对大误差的敏感性较低。也不尽然。目前有各种类型的鲁棒损失(如 MAE),对于特定问题,可能需要测试各种损失。

 

所以,这篇论文引入一个泛化的损失函数,其鲁棒性可以改变,并且可以在训练网络的同时训练这个超参数,以提升网络性能。与网格搜索(grid-search)交叉验证寻找最优损失函数相比,这种损失函数花费的时间更少。让我们从下面的几个定义开始讲解:

 

鲁棒性与自适应损失函数的一般形式:

 

 

公式 1:鲁棒性损失,其中α为超参数,用来控制鲁棒性。

 

α控制损失函数的鲁棒性。c 可以看作是一个尺度参数,在 x=0 邻域控制弯曲的尺度。由于α作为超参数,我们可以看到,对于不同的α值,损失函数有着相似的形式。

 

 

公式 2:不同α值对应不同的自适应性损失。

 

在α=0 和α=2 时,损失函数是未定义的,但利用极限可以实现近似。从α=2 到α=1,损失函数平稳地从 L2 损失过渡到 L1 。对于不同的α值,我们可以绘制不同的损失函数,如下图 2 所示。

 

导数对于优化损失函数非常重要。下面研究一下这个损失函数的一阶导数,我们知道,梯度优化涉及到导数。对于不同的α值,x 的导数如下所示。下图 2 还绘制了不同α的导数和损失函数。

 

 

公式 3:鲁棒损失(表达式 1)对于不同的α的值相对于 x 的导数

 

自适应损失及其导数

 

下图对于理解此损失函数及其导数非常重要。在下图 2 中,尺度参数 c 固定为 1.1。当 x = 6.6 时,可以将其视为 x = 6×c。可以得出以下有关损失及其导数的推论:

 

1. 当 x、α和 c>0 时,损失函数是光滑的,因此适合于基于梯度的优化;

 

2.损失函数总是在原点为零,并且在 | x |>0 时单调增加。损失的单调性也可以与损失的对数进行比较;

 

3. 损失也随着α的增加而单调增加。此属性对于损失函数的鲁棒性很重要,因为可以从较高的α值开始,然后在优化过程中逐渐减小(平滑)以实现鲁棒的估计,从而避免局部最小值;

 

4. 当 | x |<c 时,对于不同的α值,导数几乎是线性的。这意味着当导数很小时,它们与残差的大小成正比;

 

5. 对于α= 2,导数始终与残差的大小成正比。通常,这是 MSE(L2)损失的特性;

 

6. 对于α=1(L1 损失),我们看到导数的幅度在 | x |>c 之外饱和至一个常数值(正好是 1/c)。这意味着残差的影响永远不会超过一个固定的量;

 

7. 对于α<1,导数的大小随着 | x |>c 而减小。这意味着当残差增加时,它对梯度的影响较小,因此异常值在梯度下降过程中的影响较小。

 

 

图 2:损失函数及其导数与α的关系。

 

 

图 3:自适应损失函数(左)及其导数(右)的曲面图。

 

鲁棒损失的实现:Pytorch 和 Google Colab

 

关于鲁棒损失的理论掌握了,怎幺实现呢?使用的代码在 Jon Barron 的 GitHub 项目「robust_loss_pytorch」中稍加修改。此外还创建了一个动画来描述随着迭代次数的增加,自适应损失如何找到最佳拟合线。

 

GitHub 地址:https://github.com/jonbarron/arom_loss_pytorch

 

不需要克隆存储库,我们可以使用 Colab 中的 pip 在本地安装它。

 

!pip install git+https://github.com/jonbarron/robust_loss_pytorch import robust_loss_pytorch

 

此外还创建了一个简单的线性数据集,包括正态分布的噪声和异常值。

 

首先,由于使用了 Pythorch 库,利用 torch 将 x, y 的 numpy 数组转换为张量。

 

import numpy as np
import torch scale_true = 0.7
shift_true = 0.15
x = np.random.uniform(size=n)
y = scale_true * x + shift_true
y = y + np.random.normal(scale=0.025, size=n) # add noise 
flip_mask = np.random.uniform(size=n) > 0.9 
y = np.where(flip_mask, 0.05 + 0.4 * (1. — np.sign(y — 0.5)), y) 
# include outliers
x = torch.Tensor(x)
y = torch.Tensor(y)

 

其次,使用 pytorch 模块定义线性回归类,如下所示:

 

class RegressionModel(torch.nn.Module):
def __init__(self):
super(RegressionModel, self).__init__()
self.linear = torch.nn.Linear(1, 1) 
## applies the linear transformation.
def forward(self, x):
return self.linear(x[:,None])[:,0] # returns the forward pass

 

接下来,用线性回归模型拟合自创建的线性数据集,首先使用损失函数的一般形式。这里使用一个固定值α(α=2.0),它在整个优化过程中保持不变。正如在α=2.0 时看到的,损失函数等效 L2 损失,这对于包括异常值在内的问题不是最优的。对于优化,使用学习率为 0.01 的 Adam 优化器。

 

regression = RegressionModel()
params = regression.parameters()
optimizer = torch.optim.Adam(params, lr = 0.01)
for epoch in range(2000):
y_i = regression(x)
 # Use general loss to compute MSE, fixed alpha, fixed scale.
loss = torch.mean(robust_loss_pytorch.general.lossfun(
y_i — y, alpha=torch.Tensor([2.]), scale=torch.Tensor([0.1])))
optimizer.zero_grad()
loss.backward()
optimizer.step()

 

利用鲁棒损失函数的一般形式和固定α值,可以得到拟合线。原始数据、真直线(生成数据点时使用的具有相同斜率和偏差的线,排除异常值)和拟合线如下图 4 所示:

 

 

图 4:一般损失函数

 

损失函数的一般形式不允许α发生变化,因此必须手动微调α参数或执行网格搜索进行微调。

 

此外,正如上图所示,由于使用了 L2 损失,拟合受到异常值的影响。这是一般的情况,但如果使用损失函数的自适应版本,会发生什幺呢?调用自适应损失模块,并初始化α,让α在每个迭代步骤中自适应。

 

regression = RegressionModel()
adaptive = robust_loss_pytorch.adaptive.AdaptiveLossFunction(
 num_dims = 1, float_dtype=np.float32)
params = list(regression.parameters()) + list(adaptive.parameters())
optimizer = torch.optim.Adam(params, lr = 0.01)
for epoch in range(2000):
 y_i = regression(x)
 loss = torch.mean(adaptive.lossfun((y_i — y)[:,None]))
# (y_i - y)[:, None] # numpy array or tensor
 optimizer.zero_grad()
 loss.backward()
 optimizer.step()

 

此外,还有一些额外的代码使用 celluloid 模块,见下图 5。在这里,可以清楚地看到,随着迭代次数的增加,自适应损失如何找到最佳拟合线。这个结果接近真实的线,对于异常值的影响可以忽略不计。

 

 

图 5:自适应损失函数如何达到最佳拟合的动画。

 

原文地址:

 

https://towardsdatascience.com/the-most-awesome-loss-function-172ffc106c99

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