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Python机器学习算法:线性回归

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作者|Vagif Aliyev 编译|VK 来源|Towards Data Science

 

 

线性回归可能是最常见的算法之一,线性回归是机器学习实践者必须知道的。这通常是初学者第一次接触的机器学习算法,了解它的操作方式对于更好地理解它至关重要。

 

所以,简单地说,让我们来分解一下真正的问题:什幺是线性回归?

 

线性回归定义

 

线性回归是一种有监督的学习算法,旨在采用线性方法来建模因变量和自变量之间的关系。换句话说,它的目标是拟合一条最好地捕捉数据关系的线性趋势线,并且,从这条线,它可以预测目标值可能是什幺。

 

 

太好了,我知道它的定义,但它是如何工作的呢?好问题!为了回答这个问题,让我们逐步了解一下线性回归是如何运作的:

 

 

    1. 拟合数据(如上图所示)。

 

    1. 计算点之间的距离(图上的红点是点,绿线是距离),然后求平方,然后求和(这些值是平方的,以确保负值不会产生错误的值并阻碍计算)。这是算法的误差,或者更好地称为残差

 

    1. 存储迭代的残差

 

    1. 基于一个优化算法,使得该线稍微“移动”,以便该线可以更好地拟合数据。

 

    1. 重复步骤2-5,直到达到理想的结果,或者剩余误差减小到零。

 

 

这种拟合直线的方法称为最小二乘法。

 

线性回归背后的数学

 

如果已经理解的请随意跳过这一部分

 

 

线性回归算法如下:

 

 

可以简化为:

 

 

以下算法将基本完成以下操作:

 

 

    1. 接受一个Y向量(你的数据标签,(房价,股票价格,等等…)

 

 

 

这是你的目标向量,稍后将用于评估你的数据(稍后将详细介绍)。

 

 

    1. 矩阵X(数据的特征):

 

 

 

这是数据的特征,即年龄、性别、性别、身高等。这是算法将实际用于预测的数据。注意如何有一个特征0。这称为截距项,且始终等于1。

 

 

    1. 取一个权重向量,并将其转置:

 

 

 

 

这是算法的神奇之处。所有的特征向量都会乘以这些权重。这就是所谓的点积。实际上,你将尝试为给定的数据集找到这些值的最佳组合。这就是所谓的优化。

 

 

    1. 得到输出向量:

 

 

 

这是从数据中输出的预测向量。然后,你可以使用成本函数来评估模型的性能。

 

这基本上就是用数学表示的整个算法。现在你应该对线性回归的功能有一个坚实的理解。但问题是,什幺是优化算法?我们如何选择最佳权重?我们如何评估绩效?

 

成本函数

 

成本函数本质上是一个公式,用来衡量模型的损失或“成本”。如果你曾经参加过任何Kaggle比赛,你可能会遇到过一些。一些常见的方法包括:

均方误差
均方根误差
平均绝对误差

这些函数对于模型训练和开发是必不可少的,因为它们回答了“我的模型预测新实例的能力如何”这一基本问题?”. 请记住这一点,因为这与我们的下一个主题有关。

 

优化算法

 

优化通常被定义为改进某事物,使其发挥其全部潜力的过程。这也适用于机器学习。在ML的世界里,优化本质上是试图为某个数据集找到最佳的参数组合。这基本上是机器学习的“学习”部分。

 

我将讨论两种最常见的算法:梯度下降法和标准方程。

 

梯度下降

 

梯度下降是一种优化算法,旨在寻找函数的最小值。它通过在梯度的负方向上迭代地采取步骤来实现这个目标。在我们的例子中,梯度下降将通过移动函数切线的斜率来不断更新权重。

 

梯度下降的一个具体例子

 

 

为了更好地说明梯度下降,让我们看一个简单的例子。想象一个人在山顶上,他/她想爬到山底。他们可能会做的是环顾四周,看看应该朝哪个方向迈出一步,以便更快地下来。然后,他们可能会朝这个方向迈出一步,现在他们离目标更近了。然而,它们在下降时必须小心,因为它们可能会在某一点卡住,所以我们必须确保相应地选择我们的步长。

 

同样,梯度下降的目标是最小化函数。在我们的例子中,这是为了使我们的模型的成本最小化。它通过找到函数的切线并朝那个方向移动来实现这一点。“步长”的大小是由已知的学习速率来定义的。这基本上控制着我们向下移动的距离。使用此参数,我们必须注意两种情况:

 

 

    1. 学习速率太大,算法可能无法收敛(达到最小值)并在最小值附近反弹,但永远不会达到该值

 

    1. 学习率太小,算法将花费太长时间才能达到最小值,也可能会“卡”在一个次优点上。

 

 

我们还有一个参数,它控制算法迭代数据集的次数。

 

从视觉上看,该算法将执行以下操作:

 

 

由于此算法对机器学习非常重要,让我们回顾一下它的作用:

 

 

    1. 随机初始化权重。这叫做随机初始化

 

    1. 然后,模型使用这些随机权重进行预测

 

    1. 模型的预测是通过成本函数来评估的

 

    1. 然后模型运行梯度下降,找到函数的切线,然后在切线的斜率上迈出一步

 

    1. 该过程将重复N次迭代,或者如果满足某个条件。

 

 

梯度下降法的优缺点

 

优点:

 

 

    1. 很可能将成本函数降低到全局最小值(非常接近或=0)

 

    1. 最有效的优化算法之一

 

 

缺点:

 

 

    1. 在大型数据集上可能比较慢,因为它使用整个数据集来计算函数切线的梯度

 

    1. 容易陷入次优点(或局部极小值)

 

    1. 用户必须手动选择学习速率和迭代次数,这可能很耗时

 

 

既然已经介绍了梯度下降,现在我们来介绍标准方程。

 

标准方程(Normal Equation)

 

如果我们回到我们的例子中,而不是一步一步地往下走,我们将能够立即到达底部。标准方程就是这样。它利用线性代数来生成权重,可以在很短的时间内产生和梯度下降一样好的结果。

 

标准方程的优缺点

 

优点

 

 

    1. 无需选择学习速率或迭代次数

 

    1. 非常快

 

 

缺点

 

 

    1. 不能很好地扩展到大型数据集

 

    1. 倾向于产生好的权重,但不是最佳权重

 

 

 

特征缩放

 

这是许多机器学习算法的重要预处理步骤,尤其是那些使用距离度量和计算(如线性回归和梯度下降)的算法。它本质上是缩放我们的特征,使它们在相似的范围内。把它想象成一座房子,一座房子的比例模型。两者的形状是一样的(他们都是房子),但大小不同(5米!=500米)。我们这样做的原因如下:

 

 

    1. 它加快了算法的速度

 

    1. 有些算法对尺度敏感。换言之,如果特征具有不同的尺度,则有可能将更高的权重赋予具有更高量级的特征。这将影响机器学习算法的性能,显然,我们不希望我们的算法偏向于一个特征。

 

 

为了演示这一点,假设我们有三个特征,分别命名为A、B和C:

缩放前AB距离=>

缩放前BC距离=>

缩放后AB距离=>

缩放后BC的距离=>

 

我们可以清楚地看到,这些特征比缩放之前更具可比性和无偏性。

 

从头开始编写线性回归

 

 

好吧,现在你一直在等待的时刻;实现!

 

注意:所有代码都可以从这个Github repo下载。但是,我建议你在执行此操作之前先遵循教程,因为这样你将更好地理解你实际在编写什幺代码:

 

https://github.com/Vagif12/ML…

 

首先,让我们做一些基本的导入:

 

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import load_boston

 

是的,这就是所有需要导入的了!我们使用的是numpy作为数学实现,matplotlib用于绘制图形,以及scikitlearn的boston数据集。

 

# 加载和拆分数据
data = load_boston()
X,y = data['data'],data['target']

 

接下来,让我们创建一个定制的train_test_split函数,将我们的数据拆分为一个训练和测试集:

 

# 拆分训练和测试集
def train_test_divide(X,y,test_size=0.3,random_state=42):
    np.random.seed(random_state)
    train_size = 1 - test_size
    arr_rand = np.random.rand(X.shape[0])
    split = arr_rand < np.percentile(arr_rand,(100*train_size))
    
    X_train = X[split]
    y_train = y[split]
    X_test =  X[~split]
    y_test = y[~split]
    
    return X_train, X_test, y_train, y_test
X_train,X_test,y_train,y_test = train_test_divide(X,y,test_size=0.3,random_state=42)

 

基本上,我们在进行

 

 

    1. 得到测试集大小。

 

    1. 设置一个随机种子,以确保我们的结果和可重复性。

 

    1. 根据测试集大小得到训练集大小

 

    1. 从我们的特征中随机抽取样本

 

    1. 将随机选择的实例拆分为训练集和测试集

 

 

我们的成本函数

 

我们将实现MSE或均方误差,一个用于回归任务的常见成本函数:

 

 

def mse(preds,y):
        m = len(y)
        return 1/(m) * np.sum(np.square((y - preds)))

M指的是训练实例的数量
yi指的是我们标签向量中的一个实例
preds指的是我们的预测

为了编写干净、可重复和高效的代码,并遵守软件开发实践,我们将创建一个线性回归类:

 

class LinReg:
    def __init__(self,X,y):
        self.X = X
        self.y = y
        self.m = len(y)
        self.bgd = False

bgd是一个参数,它定义我们是否应该使用批量梯度下降。

现在我们将创建一个方法来添加截距项:

 

def add_intercept_term(self,X):
        X = np.insert(X,1,np.ones(X.shape[0:1]),axis=1).copy()
        return X

 

这基本上是在我们的特征开始处插入一个列。它只是为了矩阵乘法。

 

如果我们不加上这一点,那幺我们将迫使超平面通过原点,导致它大幅度倾斜,从而无法正确拟合数据

 

缩放我们的特征:

 

 

def feature_scale(self,X):
        X = (X - X.mean()) / (X.std())
        return X

 

接下来,我们将随机初始化权重:

 

def initialise_thetas(self):
        np.random.seed(42)
        self.thetas = np.random.rand(self.X.shape[1])

 

现在,我们将使用以下公式从头开始编写标准方程:

 

 

def normal_equation(self):
        A = np.linalg.inv(np.dot(self.X.T,self.X))
        B = np.dot(self.X.T,self.y)
        thetas = np.dot(A,B)
        return thetas

 

基本上,我们将算法分为三个部分:

 

 

    1. 我们得到了X转置后与X的点积的逆

 

    1. 我们得到重量和标签的点积

 

    1. 我们得到两个计算值的点积

 

 

这就是标准方程!还不错!现在,我们将使用以下公式实现批量梯度下降:

 

def batch_gradient_descent(self,alpha,n_iterations):
        self.cost_history = [0] * (n_iterations)
        self.n_iterations = n_iterations
        
        for i in range(n_iterations):
            h = np.dot(self.X,self.thetas.T)
            gradient = alpha * (1/self.m) * ((h - self.y)).dot(self.X)
            
            self.thetas = self.thetas - gradient
            self.cost_history[i] = mse(np.dot(self.X,self.thetas.T),self.y)
            
        return self.thetas

 

在这里,我们执行以下操作:

 

 

    1. 我们设置alpha,或者学习率,和迭代次数

 

    1. 我们创建一个列表来存储我们的成本函数历史记录,以便以后在折线图中绘制

 

    1. 循环n_iterations 次,

 

    1. 我们得到预测,并计算梯度(函数切线的斜率)。

 

    1. 我们更新权重以沿梯度负方向移动

 

    1. 我们使用我们的自定义MSE函数记录值

 

    1. 重复,完成后,返回结果

 

 

让我们定义一个拟合函数来拟合我们的数据:

 

def fit(self,bgd=False,alpha=0.158,n_iterations=4000):
        self.X = self.add_intercept_term(self.X)
        self.X = self.feature_scale(self.X)
        if bgd == False:
            
            self.thetas = self.normal_equation()
        else:
            self.bgd = True
            self.initialise_thetas()
            self.thetas = self.batch_gradient_descent(alpha,n_iterations)

 

在这里,我们只需要检查用户是否需要梯度下降,并相应地执行我们的步骤。

 

让我们构建一个函数来绘制成本函数:

 

def plot_cost_function(self):
        
        if self.bgd == True:
            plt.plot(range((self.n_iterations)),self.cost_history)
            plt.xlabel('No. of iterations')
            plt.ylabel('Cost Function')
            plt.title('Gradient Descent Cost Function Line Plot')
            plt.show()
        else:
            print('Batch Gradient Descent was not used!')

 

最后一种预测未标记实例的方法:

 

def predict(self,X_test):
        self.X_test = X_test.copy()
        self.X_test = self.add_intercept_term(self.X_test)
        self.X_test = self.feature_scale(self.X_test)
        predictions = np.dot(self.X_test,self.thetas.T)
        return predictions

 

现在,让我们看看哪个优化产生了更好的结果。首先,让我们试试梯度下降:

 

lin_reg_bgd = LinReg(X_train,y_train)
lin_reg_bgd.fit(bgd=True)
mse(y_test,lin_reg_bgd.predict(X_test))
OUT:
28.824024414708344

 

让我们画出我们的函数,看看成本函数是如何减少的:

 

 

所以我们可以看到,在大约1000次迭代时,它开始收敛。

 

现在的标准方程是:

 

lin_reg_normal = LinReg(X_train,y_train)
lin_reg_normal.fit()
mse(y_test,lin_reg_normal.predict(X_test))
OUT:
22.151417764247284

 

所以我们可以看到,标准方程的性能略优于梯度下降法。这可能是因为数据集很小,而且我们没有为学习率选择最佳参数。

 

未来

 

 

    1. 大幅度提高学习率。会发生什幺?

 

    1. 不应用特征缩放。有区别吗?

 

    1. 尝试研究一下,看看你能不能实现一个更好的优化算法。在测试集中评估你的模型

 

 

写这篇文章真的很有趣,虽然有点长,但我希望你今天学到了一些东西。

 

原文链接: https://towardsdatascience.co…

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