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朴素贝叶斯分类-理论篇

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贝叶斯原理是英国数学家 托马斯·贝叶斯 于18 世纪提出的,当我们不能直接计算一件事情(A)发生的可能性大小的时候,可以间接的计算与这件事情有关的事情(X,Y,Z)发生的可能性大小,从而间接判断事情(A)发生的可能性大小。

 

 

在介绍贝叶斯原理之前,先介绍几个与概率相关的概念。

 

1,概率相关概念

 

概率用于描述一件事情发生的可能性大小,用数学符号 P(x) 表示, x 表示 随机变量 , P(x) 表示 x 的概率。

 

随机变量根据变量取值是否连续,可分为 离散型随机变量 和 连续型随机变量 。

 

联合概率由多个随机变量共同决定,用 P(x, y) 表示,含义为“事件 x 与事件 y 同时发生的概率”。

 

条件概率也是由多个随机变量共同决定,用 P(x|y) 表示,含义为“在事件 y 发生的前提下,事件 x 发生的概率。”

 

边缘概率:从 P(x, y) 推导出 P(x) ,从而忽略 y

对于离散型随机变量,通过联合概率 P(x, y)y 上 求和 , 可得到 P(x) ,这里的 P(x) 就是边缘概率。
对于连续型随机变量,通过联合概率 P(x, y)y 上 求积分 , 可得到 P(x) ,这里的 P(x) 就是边缘概率。

概率分布:将随机变量所有可能出现的值,及其对应的概率都展现出来,就能得到这个变量的 概率分布 ,概率分布分为两种,分别是离散型和连续型。

 

常见的 离散型数据分布模型 有:

伯努利分布:表示单个随机变量的分布,且该变量的取值只有两个,0 或 1。例如抛硬币(不考虑硬币直立的情况)的概率分布就是伯努利分布。数学公式如下:

P(x = 0) = 1 – λ
P(x = 1) = λ

多项式分布:也叫分类分布,描述了一个具有 k 个不同状态的单个随机变量。这里的 k,是有限的数值,如果 k 为 2,那就变成了伯努利分布。

P(x = k) = λ

二项式分布
泊松分布

常见的 连续型数据分布模型 有:

正态分布,也叫高斯分布,是最重要的一种。
均匀分布
指数分布
拉普拉斯分布

正态分布的数学公式为:

 

 

正态分布的分布图为:

 

 

正态分布还可分为:

一元正态分布:此时 μ 为 0, σ 为 1。
多元正态分布。

数学期望,如果把“每次随机结果的出现概率”看做 权重 ,那幺期望就是所有结果的 加权平均值 。

 

方差表示的是随机变量的取值与其数学期望的偏离程度,方差越小意味着偏离程度越小,方差越大意味着偏离程度越大。

 

概率论研究的就是这些概率之间的转化关系。

 

2,贝叶斯定理

 

贝叶斯公式如下:

 

 

含义:

等号右边分子部分, P(Bi) 为 先验概率 , P(A|Bi) 为 条件概率 。
等号右边整个分母部分为 边缘概率 。
等号左边 P(Bi|A) 为 后验概率 ,由先验概率,条件概率,边缘概率计算得出。

贝叶斯定理可用于分类问题,将其用在分类问题中时,可将上面的公式简化为:

 

 

其中:

c 表示一个分类,f 表示属性值。
P(c|f) 表示在待分类样本中,出现属性值 f 时,样本属于类别 c 的概率。
P(f|c) 是根据训练样本数据,进行统计得到的, c 中出现属性 f 的概率。
P(c ) 是分类 c 在训练数据中出现的概率。
P(f) 是属性 f 在训练样本中出现的概率。

这就意味着,当我们知道一些属性特征值时,根据这个公式,就可以计算出所属分类的概率,最终所属哪个分类的概率最大,就划分为哪个分类,这就完成了一个分类问题。

 

贝叶斯推导

 

来看下贝叶斯公式是如何推导出来的。

 

如下图两个椭圆,左边为C,右边为F。

现在让两个椭圆产生交集:

 

 

根据上图可知:在事件F 发生的条件下,事件C 发生的概率就是 P(C ∩ F) / P(F) ,即:

P(C | F) = P(C ∩ F) / P(F)

可得到:

P(C ∩ F) = P(C | F) * P(F)

同理可得:

P(C ∩ F) = P(F | C) * P(C)

所以:

 

P(C ∩ F) = P(C | F) * P(F) = P(F | C) * P(C)
P(C | F) = P(F | C) * P(C) / P(F)

 

3,朴素贝叶斯

 

假设我们现在有一个数据集,要使用贝叶斯定理,进行分类。特征有两个:f1,f2。现在要对数据 F 进行分类,那我们需要求解:

P(c|F) :表示数据 F 属于分类 c 的概率。

因为特征有 f1f2 ,那幺:

P(c|F) = P(c|(f1,f2))

对于分类问题,特征往往不止一个。如果特征之间相互影响,也就是 f1f2 之间相互影响,那幺 P(c|(f1,f2)) 就不容易求解。

 

朴素贝叶斯在贝叶斯的基础上做了一个简单粗暴的假设,它假设多个特征之间互不影响,相互独立。

 

朴素的意思就是 纯朴,简单 。

 

用数学公式表示就是:

P(A, B) = P(A) * P(B)

实际上就是大学概率论中所讲的 事件独立性 ,即 事件A 与事件B 的发生互不干扰,相互独立 。

 

那幺,根据朴素贝叶斯, P(c|F) 的求解过程如下:

 

 

假设我们现在要分类的数据有两类: c1 和 c2

 

那幺对于数据 F 的分类问题,我们就需要求解两个概率: P(c1|F) 和P(c2|F)

如果 P(c1|F) > P(c2|F) ,那幺 F 属于 c1 类。
如果 P(c1|F) < P(c2|F) ,那幺 F 属于 c2 类。

根据贝叶斯原理,我们可以得到:

 

 

对于分类问题,我们的最终目的是分类,而不是真正的求解出 P(c1|F)P(c2|F) 的确切数值。

 

根据上面的公式,我们可以看到,等号右边的分母部分都是 P(F)

 

 

所以我们只需要求出 P(F|c1) × P(c1)P(F|c2) × P(c2) ,就可以知道 P(c1|F)P(c2|F) 哪个大了。

 

所以对于 P(c|F) 可以进一步简化:

 

 

4,处理分类问题的一般步骤

 

用朴素贝叶斯原理,处理一个分类问题,一般要经过以下几个步骤:

准备阶段 :

获取数据集。
分析数据,确定特征属性,并得到训练样本。

训练阶段 :

P(Ci)
P(Fj|Ci)
Ci
Fj

预测阶段 :

P(Fj|Ci) * P(Ci)

 

5,用朴素贝叶斯分类

 

接下来我们来处理一个实际的分类问题,我们处理的是 离散型数据 。

 

5.1,准备数据集

 

我们的数据集如下:

 

 

该数据集的特征集有 身高体重鞋码 ,目标集为 性别

 

我们的目的是训练一个模型,该模型可以根据身高,体重和鞋码来预测所属的性别。

 

我们给定一个特征:

 

F1
F2
F3

 

要求这个特征是 还是 ?(用 C1 表示 C2 表示 )也就是要求 P(C1|F) 大,还是 P(C2|F) 大?

 

# 根据朴素贝叶斯推导
   P(C1|F)
=> P(C1|(F1,F2,F3))
=> P(C1|F1) * P(C1|F2) * P(C1|F3)
=> [P(F1|C1) * P(C1)] * [P(F2|C1) * P(C1)] * [P(F3|C1) * P(C1)]
   P(C2|F)
=> P(C2|(F1,F2,F3))
=> P(C2|F1) * P(C2|F2) * P(C2|F3)
=> [P(F1|C2) * P(C2)] * [P(F2|C2) * P(C2)] * [P(F3|C2) * P(C2)]

 

5.2,计算 P(Ci)

 

目标集共有两类:男和女,男出现4 次,女出现4 次,所以:

 

P(C1) = 4 / 8 = 0.5
P(C2) = 4 / 8 = 0.5

 

5.3,计算 P(Fj|Ci)

 

通过观察表格中的数据,我们可以知道:

 

# 性别为男的情况下,身高=高 的概率
P(F1|C1) = 2 / 4 = 0.5
# 性别为男的情况下,体重=中 的概率
P(F2|C1) = 2 / 4 = 0.5
# 性别为男的情况下,鞋码=中 的概率
P(F3|C1) = 1 / 4 = 0.25
# 性别为女的情况下,身高=高 的概率
P(F1|C2) = 0 / 4 = 0
# 性别为女的情况下,体重=中 的概率
P(F2|C2) = 2 / 4 = 0.5
# 性别为女的情况下,鞋码=中 的概率
P(F3|C2) = 2 / 4 = 0.5

 

5.4,计算 P(Fj|Ci) * P(Ci)

 

上面我们已经推导过 P(C1|F)P(C2|F) ,下面可以求值了:

 

P(C1|F)
=> [P(F1|C1) * P(C1)] * [P(F2|C1) * P(C1)] * [P(F3|C1) * P(C1)]
=> [0.5 * 0.5] * [0.5 * 0.5] * [0.25 * 0.5]
=> 0.25 * 0.25 * 0.125
=> 0.0078125
   P(C2|F)
=> [P(F1|C2) * P(C2)] * [P(F2|C2) * P(C2)] * [P(F3|C2) * P(C2)]
=> [0 * 0.25] * [0.5 * 0.5] * [0.5 * 0.5]
=> 0

 

最终可以看到 P(C1|F) > P(C2|F) ,所以该特征属于 C1 ,即男性。

 

6,总结

 

可以看到,对于一个分类问题: 给定一个数据F,求解它属于哪个分类? 实际上就是要求解 F 属于各个分类的概率大小,即 P(C|F)

 

根据朴素贝叶斯原理, P(C|F)P(F|C) * P(C) 正相关,所以最终要求解的就是 P(F|C) * P(C) 。这就将一个分类问题转化成了一个概率问题。

 

下篇文章会介绍如何使用朴素贝叶斯处理实际问题。

 

(本节完。)

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