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InstanceNorm 梯度公式推导

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InstanceNorm 梯度公式推导

 

【GiantPandaCV导语】本文主内容是推导 InstanceNorm 关于输入和参数的梯度公式,同时还会结合 Pytorch 和 MXNet 里面 InstanceNorm 的代码来分析。

 

InstanceNorm 与 BatchNorm 的联系

 

对一个形状为 (N, C, H, W) 的张量应用 InstanceNorm [4]
操作,其实等价于先把该张量 reshape 为 (1, N * C, H, W)的张量,然后应用 BatchNorm [5]
操作。而 gamma 和 beta 参数的每个通道所对应输入张量的位置都是一致的。

 

而 InstanceNorm 与 BatchNorm 不同的地方在于:

 

InstanceNorm 训练与预测阶段行为一致,都是利用当前 batch 的均值和方差计算;

 

BatchNorm 训练阶段利用当前 batch 的均值和方差,测试阶段则利用训练阶段通过移动平均统计的均值和方差;

 

论文 [6]
中的一张示意图,就很好的解释了两者的联系:

https://arxiv.org/pdf/1803.08494.pdf

所以 InstanceNorm 对于输入梯度和参数求导过程与 BatchNorm 类似,下面开始进入正题。

 

梯度推导过程详解

 

在开始推导梯度公式之前,首先约定输入,参数,输出等符号:

 

输入张量, 形状为(N, C, H, W),rehape 为 (1, N * C, M) 其中 M=H*W

 

参数,形状为 (1, C, 1, 1),每个通道值对应 N*M 个输入,在计算的时候首先通过在第0维 repeat N 次再 reshape 成 (1, N*C, 1, 1);

 

参数,形状为 (1, C, 1, 1),每个通道值对应 N*M 个输入,在计算的时候首先通过在第0维 repeat N 次再 reshape 成 (1, N*C, 1, 1);

 

而输入张量 reshape 成 (1, N * C, M)之后,每个通道上是一个长度为 M 的向量,这些向量之间的计算是不像干的,每个向量计算自己的 normalize 结果。所以求导也是各自独立。因此下面的均值、方差符号约定和求导也只关注于其中一个向量,其他通道上的向量计算都是一样的。

 

一个向量上的均值

 

一个向量上的方差

 

一个向量上一个点的 normalize 中间输出

 

一个向量上一个点的 normalize 最终输出,其中和表示这个向量所对应的 gamma 和 beta 参数的通道值。

 

loss 函数的符号约定为

 

gamma 和 beta 参数梯度的推导

 

先计算简单的部分,求 loss 对和的偏导:

 

其中表示 gamma 和 beta 参数的第个通道参与了哪些 batch 上向量的 normalize 计算。

 

因为 gamma 和 beta 上的每个通道的参数都参数与了 N 个 batch 上 M 个元素 normalize 的计算,所以对每个通道进行求导的时候,需要把所有涉及到的位置的梯度都累加在一起。

 

对于在具体实现的时候,就是对应输出梯度的值,也就是从上一层回传回来的梯度值。

 

输入梯度的推导

 

对输入梯度的求导是最复杂的,下面的推导都是求 loss 相对于输入张量上的一个点上的梯度,而因为上文已知,每个长度是 M 的向量的计算都是独立的,所以下文也是描述其中一个向量上一个点的梯度公式。具体是计算的时候,是通过向量操作(比如 numpy)来完成所有点的梯度计算。

 

先看 loss 函数对于的求导:

 

而从上文约定的公式可知,对于的计算中涉及到的有三部分,分别是、和。所以 loss 对于的偏导可以写成以下的形式:

 

接下来就是,分别求上面式子最后三项的梯度公式

 

第一项梯度推导

 

在求第一项的时候,把和看做常量,则有:

 

然后有:

 

最后可得第一项梯度公式:

 

第三项梯度推导

 

接着先看第三项梯度,因为第三项的推导形式简单一些。

 

先计算上式最后一项,把看做常量:

 

然后计算,等价于求。而因为每个长度是 M 的向量都会计算一个方差,而计算出来的方差又会参数到所有 M 个元素的 normalize 的计算,所以 loss 对于的偏导需要把所有 M 个位置的梯度累加,所以有:

 

接着计算,

 

最后可得:

 

第二项梯度推导

 

最后计算第二项的梯度,一样先计算最后一项:

 

接着计算,等价于是求。而因为每个长度是 M 的向量都会计算一个均值,而计算出来的均值又会参与到所有 M 个元素的 normalize 的计算,所以 loss 对于的偏导需要把所有 M 个位置的梯度累加,所以有:

 

接着计算,

 

最后可得:

 

输入梯度最终的公式

 

分别计算完上面三项,就能得到对于输入张量每个位置上梯度的最终公式了:

 

观察上式可以发现,loss 对的求导公式包括了 loss 对求导的公式,所以这也是为什幺先计算第三项的原因,在下面代码实现上也可以体现。

 

而在具体实现的时候就是直接套公式计算就可以了,下面来看下在 Pytroch 和 MXNet 框架中对 InstanceNorm 的实现。

 

主流框架实现代码解读

 

Pytroch 前向传播实现

 

前向代码链接: https://github.com/pytorch/pytorch/blob/fa153184c8f70259337777a1fd1d803c7325f758/aten%2Fsrc%2FATen%2Fnative%2FNormalization.cpp#L506

 

为了可读性简化了些代码:

 

Tensor instance_norm(
const Tensor& input, 
const Tensor& weight/* optional */, 
const Tensor& bias/* optional */,
const Tensor& running_mean/* optional */, 
const Tensor& running_var/* optional */,
bool use_input_stats, 
double momentum, 
double eps, 
bool cudnn_enabled) {
// ......
std::vector<int64_t> shape = 
    input.sizes().vec();
int64_t b = input.size(0);
int64_t c = input.size(1);
// shape 从 (b, c, h, w)
// 变为 (1, b*c, h, w)
  shape[1] = b * c;
  shape[0] = 1;
// repeat_if_defined 的解释见下文
  Tensor weight_ = 
      repeat_if_defined(weight, b);
  Tensor bias_ = 
      repeat_if_defined(bias, b);
  Tensor running_mean_ = 
      repeat_if_defined(running_mean, b);
  Tensor running_var_ = 
      repeat_if_defined(running_var, b);
// 改变输入张量的形状
auto input_reshaped = 
      input.contiguous().view(shape);
// 计算实际调用的是 batchnorm 的实现
// 所以可以理解为什幺 pytroch 
// 前端 InstanceNorm2d 的接口
// 与 BatchNorm2d 的接口一样
auto out = at::batch_norm(
    input_reshaped, 
    weight_, bias_, 
    running_mean_, 
    running_var_,
    use_input_stats, 
    momentum,
    eps, cudnn_enabled);
// ......
return out.view(input.sizes());
}

 

repeat_if_defined
的代码:

 

https://github.com/pytorch/pytorch/blob/fa153184c8f70259337777a1fd1d803c7325f758/aten%2Fsrc%2FATen%2Fnative%2FNormalization.cpp#L27

 

static inline Tensor repeat_if_defined(
const Tensor& t, 
int64_t repeat) {
if (t.defined()) {
// 把 tensor 按第0维度复制 repeat 次
return t.repeat(repeat);
  }
return t;
}

 

从 pytorch 前向传播的实现上看,验证了本文开头说的关于 InstanceNorm 与 BatchNorm 的联系。还有对于参数 gamma 与 beta 的处理方式。

 

MXNet 反向传播实现

 

因为我个人感觉 MXNet InstanceNorm 的反向传播实现很直观,所以选择解读其实现:

 

https://github.com/apache/incubator-mxnet/blob/4a7282f104590023d846f505527fd0d490b65509/src%2Foperator%2Finstance_norm-inl.h#L112

 

同样为了可读性简化了些代码:

 

template<typename xpu>
void InstanceNormBackward(
const nnvm::NodeAttrs& attrs,
const OpContext &ctx,
const std::vector<TBlob> &inputs,
const std::vector<OpReqType> &req,
const std::vector<TBlob> &outputs) {
using namespace mshadow;
using namespace mshadow::expr;
// ......
const InstanceNormParam& param = 
      nnvm::get<InstanceNormParam>(
        attrs.parsed);
  Stream<xpu> *s = 
      ctx.get_stream<xpu>();
// 获取输入张量的形状
  mxnet::TShape dshape = 
      inputs[3].shape_;
// ......
int n = inputs[3].size(0);
int c = inputs[3].size(1);
// rest_dim 就等于上文的 M
int rest_dim =
static_cast<int>(
        inputs[3].Size() / n / c);
  Shape<2> s2 = Shape2(n * c, rest_dim);
  Shape<3> s3 = Shape3(n, c, rest_dim);
// scale 就等于上文的 1/M
const real_t scale = 
static_cast<real_t>(1) / 
static_cast<real_t>(rest_dim);
// 获取输入张量
  Tensor<xpu, 2> data = inputs[3]
   .get_with_shape<xpu, 2, real_t>(s2, s);
// 保存输入梯度
  Tensor<xpu, 2> gdata = outputs[kData]
   .get_with_shape<xpu, 2, real_t>(s2, s);
// 获取参数 gamma 
  Tensor<xpu, 1> gamma =
      inputs[4].get<xpu, 1, real_t>(s);
// 保存参数 gamma 梯度计算结果
  Tensor<xpu, 1> ggamma = outputs[kGamma]
      .get<xpu, 1, real_t>(s);
// 保存参数 beta 梯度计算结果
  Tensor<xpu, 1> gbeta = outputs[kBeta]
      .get<xpu, 1, real_t>(s);
// 获取输出梯度
  Tensor<xpu, 2> gout = inputs[0]
      .get_with_shape<xpu, 2, real_t>(
        s2, s);
// 获取前向计算好的均值和方差
  Tensor<xpu, 1> var = 
    inputs[2].FlatTo1D<xpu, real_t>(s);
  Tensor<xpu, 1> mean = 
    inputs[1].FlatTo1D<xpu, real_t>(s);
// 临时空间
  Tensor<xpu, 2> workspace = //.....
// 保存均值的梯度
  Tensor<xpu, 1> gmean = workspace[0];
// 保存方差的梯度
  Tensor<xpu, 1> gvar = workspace[1];
  Tensor<xpu, 1> tmp = workspace[2];
// 计算方差的梯度,
// 对应上文输入梯度公式的第三项
// gout 对应输出梯度
  gvar = sumall_except_dim<0>(
    (gout * broadcast<0>(
      reshape(repmat(gamma, n), 
        Shape1(n * c)), data.shape_)) *
      (data - broadcast<0>(
        mean, data.shape_)) * -0.5f *
      F<mshadow_op::power>(
        broadcast<0>(
          var + param.eps, data.shape_), 
-1.5f)
    );
// 计算均值的梯度,
// 对应上文输入梯度公式的第二项
  gmean = sumall_except_dim<0>(
    gout * broadcast<0>(
      reshape(repmat(gamma, n), 
        Shape1(n * c)), data.shape_));
  gmean *= 
-1.0f / F<mshadow_op::square_root>(
      var + param.eps);
  tmp = scale * sumall_except_dim<0>(
-2.0f * (data - broadcast<0>(
            mean, data.shape_)));
  tmp *= gvar;
  gmean += tmp;
// 计算 beta 的梯度
// 记得s3 = Shape3(n, c, rest_dim)
// 那幺swapaxis<1, 0>(reshape(gout, s3))
// 就表示首先把输出梯度 reshape 成
// (n, c, rest_dim),接着交换第0和1维度
// (c, n, rest_dim),最后求除了第0维度
// 之外其他维度的和,
// 也就和 beta 的求导公式对应上了
  Assign(gbeta, req[kBeta],
    sumall_except_dim<0>(
       swapaxis<1, 0>(reshape(gout, s3))));
// 计算 gamma 的梯度
// swapaxis<1, 0> 的作用与上面 beta 一样
  Assign(ggamma, req[kGamma],
    sumall_except_dim<0>(
      swapaxis<1, 0>(
        reshape(gout * 
         (data - broadcast<0>(mean, 
           data.shape_)) 
           / F<mshadow_op::square_root>(
               broadcast<0>(
                var + param.eps,
                  data.shape_
               )
             ), s3
        )
      )
    )
  );
// 计算输入的梯度,
// 对应上文输入梯度公式三项的相加
  Assign(gdata, req[kData],
    (gout * broadcast<0>(
      reshape(repmat(gamma, n), 
        Shape1(n * c)), data.shape_))
      * broadcast<0>(1.0f / 
        F<mshadow_op::square_root>(
          var + param.eps), data.shape_) 
    + broadcast<0>(gvar, data.shape_) 
      * scale * 2.0f 
      * (data - broadcast<0>(
        mean, data.shape_)) 
    + broadcast<0>(gmean, 
      data.shape_) * scale);
}

 

可以看到基于 mshadow 模板库的反向传播实现,看起来很直观,基本是和公式能对应上的。

 

InstanceNorm numpy 实现

 

最后看下 InstanceNorm 前向计算与求输入梯度的 numpy 实现

 

import numpy as np
import torch
eps = 1e-05
batch = 4
channel = 2
height = 32
width = 32
input = np.random.random(
    size=(batch, channel, height, width)).astype(np.float32)
# gamma 初始化为1
# beta 初始化为0,所以忽略了
gamma = np.ones((1, channel, 1, 1), 
    dtype=np.float32)
# 随机生成输出梯度
gout = np.random.random(
    size=(batch, channel, height, width))\
    .astype(np.float32)
# 用numpy计算前向的结果
mean_np = np.mean(
  input, axis=(2, 3), keepdims=True)
in_sub_mean = input - mean_np
var_np = np.mean(
    np.square(in_sub_mean), 
      axis=(2, 3), keepdims=True)
invar_np = 1.0 / np.sqrt(var_np + eps)
out_np = in_sub_mean * invar_np * gamma
# 用numpy计算输入梯度
scale = 1.0 / (height * width)
# 对应输入梯度公式第三项
gvar = 
  gout * gamma * in_sub_mean *
-0.5 * np.power(var_np + eps, -1.5)
gvar = np.sum(gvar, axis=(2, 3), 
        keepdims=True)
# 对应输入梯度公式第二项
gmean = np.sum(
    gout * gamma, 
    axis=(2, 3), keepdims=True)
gmean *= -invar_np
tmp = scale * np.sum(-2.0 * in_sub_mean, 
        axis=(2, 3), keepdims=True) 
gmean += tmp * gvar
# 对应输入梯度公式三项之和
gin_np = 
  gout * gamma * invar_np
    + gvar * scale * 2.0 * in_sub_mean
    + gmean * scale

# pytorch 的实现
p_input_tensor = 
  torch.tensor(input, requires_grad=True)
trans = torch.nn.InstanceNorm2d(
  channel, affine=True, eps=eps)
p_output_tensor = trans(p_input_tensor)
p_output_tensor.backward(
  torch.Tensor(gout))
# 与 pytorch 对比结果
print(np.allclose(out_np, 
  p_output_tensor.detach().numpy(), 
  atol=1e-5))
print(np.allclose(gin_np, 
  p_input_tensor.grad.numpy(), 
  atol=1e-5))
# 命令行输出
# True
# True

 

总结

 

本文对于 InstanceNorm 的梯度公式推导大部分参考了博客 [1][2]
的内容,然后在参考博客的基础上,按自己的理解具体推导了一遍,很多时候是从结果往回推,在推导过程中会有不太严谨的地方,如果有什幺疑惑或意见,欢迎交流。

 

参考资料:

 

[1] https://medium.com/@drsealks/batch-normalisation-formulas-derivation-253df5b75220

 

[2] https://kevinzakka.github.io/2016/09/14/batch_normalization/

 

[3] https://www.zhihu.com/question/68730628

 

[4] https://arxiv.org/pdf/1607.08022.pdf

 

[5] https://arxiv.org/pdf/1502.03167v3.pdf

 

[6] https://arxiv.org/pdf/1803.08494.pdf

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