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强化学习基础 – 共轭梯度

我们可以使用共轭梯度法(conjugate gradient)解线性方程或优化二次方程。并且,针对这两种问题,共轭梯度法比比梯度下降的效果更好。

 

 

其中矩阵A是对称正定矩阵

 

 

在线搜索方法中,我们确定上升的最陡方向,然后选择步长。举个例子,例如在梯度上升方法中, 我们采用的步长大小等于梯度乘以学习率。看下面左图, 根据梯度的轮廓(用点图圈成椭圆的部分),该点的最大梯度方向是向右的。对应当前点最陡的方向,下一点(迭代)的最陡方向可能是向上并略微偏左。如何我们这次梯度有点微微向左,那幺不是给第一步(向右梯度)过程的作用取消了吗?

 

 

共轭梯度法是一种线性搜索方法,对于每次的移动,他不会撤销(影响)之前完成的部分。在优化二阶方程上,共轭梯度法比梯度下降需要更少的迭代步数。如果x是N维(N个参数),我们可以在最多N步迭代内找到最优值。因为对于每步移动,希望移动方向与之前的所有的移动方向保存共轭的关系。这一点保证了我们不会撤销所做的移动。简单说,若x是4维的向量,则需要最多4次移动就可以到达最优点。

 

 

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在一个指定的方向做梯度上升

 

我们在这个方向的最佳点处停下来。

 

我们找到了一个新方向dj ,它与任何先前的移动方向 di 共轭。

 

 

从在数学上来讲,这表示任何新的方向dj 必须与所有 d(i)^TA 共轭,即

 

 

其中A是二次方程的系数矩阵。下面是A共轭(A-conjugate)矩阵在二维空间中的例子。

 

 

这些A共轭向量相互之间是独立的。因此,N个A共轭向量可以张成一个N维空间。

 

 

该共轭梯度算法(CG)的关键是找到α 和 d。

 

    共轭梯度算法

 

让我先预览一下该算法。我们从一个随机数X(x0)开始猜测问题的解,并计算下一步X1(包括 α 和 d  )。

 

 

d 是下一步移动的方向(共轭向量)。
让我们看看它的工作原理。首先,我们定义两项:

 

e 表示当前猜测点和最佳点之间的误差。

 

 

r 测量的是我们当前值与正确值b(Ax = b)的距离。我们可以把r看成将A投影到b所在空间后与b的误差 e(Ax距离b的距离)。

 

r,e分别定义为:

 

 

函数为

 

 

对函数求导

 

 

下一个点的计算为(其中α是标量,d是方向,是向量):

 

 

为了保证未来的移动方向不会削减之前移动所做的工作,让我尝试保证e 和 d 是相互正交。也就是,采取该步迭代后的残差应该与当前移动方向保持正交的关系。为了保证之后迭代动作不会消减我们刚刚做的工作,因此保持这种正交关系是有道理的。

 

 

因此α取决于e,但我们不知道e的实际值是多少。所以使用其他方法代替正交,让我们尝试另一种猜测(估计方法)。也就是新的搜索方向应与前一个方向正交。 A-orthogonal的定义是:

 

 

为了满足这些条件,下一个迭代步的点 xi 必须是搜索方向d上的最佳点。

 

 

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根据A正交要求时,α计算如下:

 

 

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wikipedia上的证明:

 

这里不会完整证明。但有兴趣的人可以看看:

 

en.wikipedia.org/wiki/Derivation_of_the_conjugate_gradient_method

原标题 :The base of deep reinforcement learning-Conjugate Gradient

作者 |  Jonathan Hui

翻译 | 斯蒂芬•二狗子

校对 | 斯蒂芬•二狗子       审核| 酱番梨      整理 | 菠萝妹

原文链接:https://medium.com/@jonathan_hui/rl-conjugate-gradient-5a644459137a

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