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各种 Optimizer 梯度下降优化算法回顾和总结

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来源 :数字中国

 

论文标题:An overview of gradient descent optimization algorithms

 

说明:阅读论文时进行相关思想、结构、优缺点,内容进行提炼和记录,论文和相关引用会标明出处,引用之处如有侵权,烦请告知删除。

 

不管是使用PyTorch还是TensorFlow,用多了Optimizer优化器封装好的函数,对其内部使用的优化算法却没有仔细研究过,也很难对其优点和缺点进行实用的解释。所以打算以这一篇论文为主线并结合多篇优秀博文,回顾和总结目前主流的优化算法,对于没有深入了解过的算法,正好借这个机会学习一下。

 

写在前面

 

当前使用的许多优化算法,是对梯度下降法的衍生和优化。在微积分中,对多元函数的参数求   偏导数,把求得的各个参数的导数以向量的形式写出来就是梯度。梯度就是函数变化最快的地方。梯度下降是迭代法的一种,在求解机器学习算法的模型参数   时,即无约束问题时,梯度下降是最常采用的方法之一。

 

这里定义一个通用的思路框架,方便我们后面理解各算法之间的关系和改进。首先定义待优化参数   ,目标函数   ,学习率为   ,然后我们进行迭代优化,假设当前的epoch为   ,则有:

 

计算目标函数关于当前参数的梯度:

 

根据历史梯度计算一阶动量和二阶动量:

 

 

计算当前时刻的下降梯度:

 

根据下降梯度进行更新:

 

其中,   为下一个时刻的参数,   为当前时刻   参数,后面的描述我们都将结合这个框架来进行。

 

这里提一下一些概念:

 

鞍点:一个光滑函数的鞍点邻域的曲线,曲面,或超曲面,都位于这点的切线的不同边。例如这个二维图形,像个马鞍:在x-轴方向往上曲,在y-轴方向往下曲,鞍点就是(0,0)。

指数加权平均、偏差修正

 

可参见这篇文章:

 

什幺是指数加权平均、偏差修正?- 郭耀华 – 博客园

 

https://www.cnblogs.com/guoyaohua/p/8544835.html

 

Gradient Descent(GD)

 

在GD中没有动量的概念,也就是说在上述框架中:  ,则我们在当前时刻需要下降的梯度就是   ,则使用梯度下降法更新参数为(假设当前样本为   ,每当样本输入时,参数即进行更新):

 

梯度下降算法中,模型参数的更新调整,与代价函数关于模型参数的梯度有关,即沿着梯度的方向不断减小模型参数,从而最小化代价函数。基本策略可以理解为“在有限视距内寻找最快路径下山”,因此每走一步,参考当前位置最陡的方向(即梯度)进而迈出下一步,更形象的如下图:

标准的梯度下降主要有两个缺点:

 

训练速度慢:在应用于大型数据集中,每输入一个样本都要更新一次参数,且每次迭代都要遍历所有的样本,会使得训练过程及其缓慢,需要花费很长时间才能得到收敛解。

 

容易陷入局部最优解:由于是在有限视距内寻找下山的反向,当陷入平坦的洼地,会误以为到达了山地的最低点,从而不会继续往下走。所谓的局部最优解就是鞍点,落入鞍点,梯度为0,使得模型参数不在继续更新。

 

Batch Gradient Descent(BGD)

 

BGD相对于标准GD进行了改进,改进的地方通过它的名字应该也能看出来,也就是不再是想标准GD一样,对每个样本输入都进行参数更新,而是针对一个批量的数据输入进行参数更新。我们假设批量训练样本总数为   ,样本为   ,则在第   对样本   上损失函数关于参数的梯度为   , 则使用BGD更新参数为:

 

 

从上面的公式我们可以看到,BGD其实是在一个批量的样本数据中,求取该批量样本梯度的均值来更新参数,即每次权值调整发生在批量样本输入之后,而不是每输入一个样本就更新一次模型参数,这样就会大大加快训练速度,但是还是不够,我们接着往下看。

 

Stochastic Gradient Descent(SGD)

 

随机梯度下降法,不像BGD每一次参数更新,需要计算整个数据样本集的梯度,而是每次参数更新时,仅仅选取一个样本   计算其梯度,参数更新公式为:

 

 

公式看起来和上面标准GD一样,但是注意了,这里的样本是从批量中随机选取一个,而标准GD是所有的输入样本都进行计算。可以看到BGD和SGD是两个极端,SGD由于每次参数更新仅仅需要计算一个样本的梯度,训练速度很快,即使在样本量很大的情况下,可能只需要其中一部分样本就能迭代到最优解,由于每次迭代并不是都向着整体最优化方向,导致梯度下降的波动非常大(如下图),更容易从一个局部最优跳到另一个局部最优,准确度下降。

论文中提到,当缓慢降低学习率时,SGD会显示与BGD相同的收敛行为,几乎一定会收敛到局部(非凸优化)或全局最小值(凸优化)。

 

SGD的优点:

 

虽然看起来SGD波动非常大,会走很多弯路,但是对梯度的要求很低(计算梯度快),而且对于引入噪声,大量的理论和实践工作证明,只要噪声不是特别大,SGD都能很好地收敛。

 

应用大型数据集时,训练速度很快。比如每次从百万数据样本中,取几百个数据点,算一个SGD梯度,更新一下模型参数。相比于标准梯度下降法的遍历全部样本,每输入一个样本更新一次参数,要快得多。

 

SGD的缺点:

 

SGD在随机选择梯度的同时会引入噪声,使得权值更新的方向不一定正确(次要)。

 

SGD也没能单独克服局部最优解的问题(主要)。

 

Mini-batch Gradient Descent(MBGD,也叫作SGD)

 

小批量梯度下降法就是结合BGD和SGD的折中,对于含有   个训练样本的数据集,每次参数更新,选择一个大小为 $m(m<n)$ 的mini-batch数据样本计算其梯度,其参数更新公式如下:

 

 

小批量梯度下降法即保证了训练的速度,又能保证最后收敛的准确率,目前的SGD默认是小批量梯度下降算法。常用的小批量尺寸范围在50到256之间,但可能因不同的应用而异。

 

MBGD的缺点:

 

Mini-batch gradient descent 不能保证很好的收敛性,learning rate 如果选择的太小,收敛速度会很慢,如果太大,loss function 就会在极小值处不停地震荡甚至偏离(有一种措施是先设定大一点的学习率,当两次迭代之间的变化低于某个阈值后,就减小 learning rate,不过这个阈值的设定需要提前写好,这样的话就不能够适应数据集的特点)。对于非凸函数,还要避免陷于局部极小值处,或者鞍点处,因为鞍点所有维度的梯度都接近于0,SGD 很容易被困在这里(会在鞍点或者局部最小点震荡跳动,因为在此点处,如果是BGD的训练集全集带入,则优化会停止不动,如果是mini-batch或者SGD,每次找到的梯度都是不同的,就会发生震荡,来回跳动)。

 

SGD对所有参数更新时应用同样的 learning rate,如果我们的数据是稀疏的,我们更希望对出现频率低的特征进行大一点的更新, 且learning rate会随着更新的次数逐渐变小。

 

Momentum

 

momentum算法思想:参数更新时在一定程度上保留之前更新的方向,同时又利用当前batch的梯度微调最终的更新方向,简言之就是通过积累之前的动量来加速当前的梯度。从这里开始,我们引入一阶动量的概念(在mini-batch SGD的基础之上),也就是说,在最开始说的框架中,   ,而   不变,参数更新公式如下:

 

一阶动量是各个时刻梯度方向的指数移动平均值,约等于最近   个时刻的梯度向量和的平均值(移动平均是啥看最上面的文章)。也就是说,   时刻的下降方向,不仅由当前点的梯度方向决定,而且由此前累积的下降方向决定。   的经验值为0.9,这就意味着下降方向主要是此前累积的下降方向,并略微偏向当前时刻的下降方向。在梯度方向改变时,momentum能够降低参数更新速度,从而减少震荡,在梯度方向相同时,momentum可以加速参数更新, 从而加速收敛,如下图:

动量主要解决SGD的两个问题:

 

随机梯度的方法(引入的噪声)。

 

Hessian矩阵病态问题(可以理解为SGD在收敛过程中和正确梯度相比来回摆动比较大的问题)。

 

Nesterov Accelerated Gradient

 

NAG(Nesterov accelerated gradient)算法,是Momentum动量算法的变种。momentum保留了上一时刻的梯度   ,对其没有进行任何改变,NAG是momentum的改进,在梯度更新时做一个矫正,具体做法就是在当前的梯度上添加上一时刻的动量   ,梯度改变为   ,参数更新公式如下:

 

加上nesterov项后,梯度在大的跳跃后,进行计算对当前梯度进行校正。下图是momentum和nesterrov的对比表述图如下:

Nesterov动量梯度的计算在模型参数施加当前速度之后,因此可以理解为往标准动量中添加了一个校正因子。在凸批量梯度的情况下,Nesterov动量将额外误差收敛率从   (k步后)改进到   ,然而,在随机梯度情况下,Nesterov动量对收敛率的作用却不是很大。

 

Momentum和Nexterov都是为了使梯度更新更灵活。但是人工设计的学习率总是有些生硬,下面介绍几种自适应学习率的方法。

 

Adagrad

 

Adagrad其实是对学习率进行了一个约束,对于经常更新的参数,我们已经积累了大量关于它的知识,不希望被单个样本影响太大,希望学习速率慢一些;对于偶尔更新的参数,我们了解的信息太少,希望能从每个偶然出现的样本身上多学一些,即学习速率大一些。而该方法中开始使用二阶动量,才意味着“自适应学习率”优化算法时代的到来。

 

我们前面都没有好好的讨论二阶动量,二阶动量是个啥?它是用来度量历史更新频率的,二阶动量是迄今为止所有梯度值的平方和,即   ,在最上面的框架中   (在这里   ), 也就是说,我们的学习率现在是   (一般为了避免分母为0,会在分母上加一个小的平滑项   ),从这里我们就会发现   是恒大于0的,而且参数更新越频繁,二阶动量越大,学习率就越小,这一方法在稀疏数据场景下表现非常好,参数更新公式如下:

 

 

细心的小伙伴应该会发现Adagrad还是存在一个很明显的缺点:

 

仍需要手工设置一个全局学习率   , 如果   设置过大的话,会使regularizer过于敏感,对梯度的调节太大。

 

中后期,分母上梯度累加的平方和会越来越大,使得参数更新量趋近于0,使得训练提前结束,无法学习。

 

Adadelta

 

由于AdaGrad调整学习率变化过于激进,我们考虑一个改变二阶动量计算方法的策略:不累积全部历史梯度,而只关注过去一段时间窗口的下降梯度,即Adadelta只累加固定大小的项,并且也不直接存储这些项,仅仅是近似计算对应的平均值(指数移动平均值),这就避免了二阶动量持续累积、导致训练过程提前结束的问题了,参数更新公式如下:

 

 

观察上面的参数更新公式,我们发现还是依赖于全局学习率   ,但是原作者在此基础之上做出了一定的处理,上式经过牛顿迭代法之后,得到Adadelta最终迭代公式如下式,其中   :

 

 

此时可以看出Adadelta已经不依赖全局learning rate了,Adadelta有如下特点:

 

训练初中期,加速效果不错,很快。

 

训练后期,反复在局部最小值附近抖动。

 

RMSprop

 

RMSProp算法修改了AdaGrad的梯度平方和累加为指数加权的移动平均,使得其在非凸设定下效果更好。设定参数:全局初始率   , 默认设为0.001,decay rate   ,默认设置为0.9,一个极小的常量   ,通常为10e-6,参数更新公式如下,其中   :

 

 

其实RMSprop依然依赖于全局学习率

 

RMSprop算是Adagrad的一种发展,和Adadelta的变体,效果趋于二者之间。

 

适合处理非平稳目标(包括季节性和周期性)——对于RNN效果很好。

 

Adaptive Moment Estimation(Adam)

 

其实有了前面的方法,Adam和Nadam的出现就很理所当然的了,因为它们结合了前面方法的一阶动量和二阶动量。我们看到,SGD-M和NAG在SGD基础上增加了一阶动量,AdaGrad和AdaDelta在SGD基础上增加了二阶动量,参数更新公式如下(按照最开始总结的计算框架):

 

通常情况下,默认值为   、   和   ,Adam通常被认为对超参数的选择相当鲁棒,特点如下:

 

Adam梯度经过偏置校正后,每一次迭代学习率都有一个固定范围,使得参数比较平稳。

 

结合了Adagrad善于处理稀疏梯度和RMSprop善于处理非平稳目标的优点。

 

为不同的参数计算不同的自适应学习率。

 

也适用于大多非凸优化问题——适用于大数据集和高维空间。

 

AdaMax

 

Adamax是Adam的一种变体,此方法对学习率的上限提供了一个更简单的范围,即使用无穷范式,参数更新公式如下:

 

通常情况下,默认值为   、   和

 

Nadam

 

其实如果说要集成所有方法的优点于一身的话,Nadam应该就是了,Adam遗漏了啥?没错,就是Nesterov项,我们在Adam的基础上,加上Nesterov项就是Nadam了,参数更新公式如下:

 

可以看出,Nadam对学习率有更强的约束,同时对梯度的更新也有更直接的影响。一般而言,在使用带动量的RMSprop或Adam的问题上,使用Nadam可以取得更好的结果。

 

来张直观的动态图展示上述优化算法的效果:

 

下图描述了在一个曲面上,6种优化器的表现:

 

 

下图在一个存在鞍点的曲面,比较6中优化器的性能表现:

 

 

下图图比较了6种优化器收敛到目标点(五角星)的运行过程:

 

 

总结

 

那种优化器最好?该选择哪种优化算法?目前还没能够达达成共识。Schaul et al (2014)展示了许多优化算法在大量学习任务上极具价值的比较。虽然结果表明,具有自适应学习率的优化器表现的很鲁棒,不分伯仲,但是没有哪种算法能够脱颖而出。

 

目前,最流行并且使用很高的优化器(算法)包括SGD、具有动量的SGD、RMSprop、具有动量的RMSProp、AdaDelta和Adam。在实际应用中,选择哪种优化器应结合具体问题;同时,也优化器的选择也取决于使用者对优化器的熟悉程度(比如参数的调节等等)。

 

对于稀疏数据,尽量使用学习率可自适应的优化方法,不用手动调节,而且最好采用默认值。

 

SGD通常训练时间更长,但是在好的初始化和学习率调度方案的情况下,结果更可靠

 

如果在意更快的收敛,并且需要训练较深较复杂的网络时,推荐使用学习率自适应的优化方法。

 

Adadelta,RMSprop,Adam是比较相近的算法,在相似的情况下表现差不多。

 

在想使用带动量的RMSprop,或者Adam的地方,大多可以使用Nadam取得更好的效果

 

如果验证损失较长时间没有得到改善,可以停止训练。

 

添加梯度噪声(高斯分布   )到参数更新,可使网络对不良初始化更加健壮,并有助于训练特别深而复杂的网络。

 

原文链接:https://arxiv.org/pdf/1609.04747.pdf

 

Github:NLP相关Paper笔记和代码复现(https://github.com/DengBoCong/nlp-paper)

 

参考文献:

 

An overview of gradient descent optimization algorithms(https://ruder.io/optimizing-gradient-descent/)

 

深度学习最全优化方法总结比较(SGD,Adagrad,Adadelta,Adam,Adamax,Nadam)(https://zhuanlan.zhihu.com/p/22252270)

 

visualize_optimizers(https://github.com/snnclsr/visualize_optimizers)

 

lossfunctions(https://lossfunctions.tumblr.com/)

 

优化算法Optimizer比较和总结(https://zhuanlan.zhihu.com/p/55150256)

 

一个框架看懂优化算法之异同 SGD/AdaGrad/Adam(https://zhuanlan.zhihu.com/p/32230623)

 

深度学习——优化器算法Optimizer详解(BGD、SGD、MBGD、Momentum、NAG、Adagrad、Adadelta、RMSprop、Adam)(https://www.cnblogs.com/guoyaohua/p/8542554.html)

 

机器学习:各种优化器Optimizer的总结与比较(https://blog.csdn.net/weixin_40170902/article/details/80092628)

 

optimizer优化算法总结(https://blog.csdn.net/muyu709287760/article/details/62531509#%E4%B8%89%E7%A7%8Dgradient-descent%E5%AF%B9%E6%AF%94)

 

编辑: 黄继彦

 

校对:林亦霖

 

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