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组合优化哪家强,HRP当自强!

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量化投资与机器学习公众号独家解读

 

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本期遴选论文

来源:The Journal of Financial Data Science Fall 2021

标题:Adaptive Seriational Risk Parity and Other Extensions for Heuristic Portfolio Construction Using Machine Learning and Graph Theory

作者:Peter Schwendner、Jochen Papenbrock、Markus Jaeger、Stephan Krügel

 

前言

 

针对马科维茨提出的传统组合优化方法存在的缺陷,Marcos提出了基于图模型的层次风险平价方法(Hierarchical Risk Parity / HRP),其在统计性能上优于传统的资产组合优化方法。HRP方法的实现主要分为三个步骤:

 

层次化树聚类(资产聚类)

 

准对角化处理(相关性矩阵调整)

 

递归式二分类处理(计算资产权重)

 

标准的HRP组合优化方法

 

Step1:层次化树聚类(Hierarchical Tree Clustering)

 

1、假设有N个证券过去T 个时间的收益率数据构成TxN的矩阵,基于此收益率数据计算资产间的相关系数,构成NxN的相关系数矩阵;

 

2、根据相关系数矩阵,使用下列公式转换为距离矩阵D;

 

3、根据上述矩阵D,使用下列公式计算距离矩阵 ,该矩阵的每个元素是矩阵D任意两列的欧式距离。从逻辑上理解,用股票与所有其他股票的距离作为该股票的向量表征,通过计算两两向量之间的欧式距离作为股票之间的相似性。

 

4、通过递归的方式对N个资产进行聚类,具体做法如下:

 

a. 找到矩阵中最小值对应的股票对,比如下图中,a、b股票的值最小,那幺第一个聚类就是

 

 

b. 将上述的a、b列用 替换,重新计算c、d、e到 的距离,得到以下矩阵 ,结果如下:

 

 

其中c、d、e到U[1] = (a,b)的距离计算方式如下,其他位置元素保持不变:

 

我们再找到上述矩阵的最小值对应的股票或聚类是 ,并按同样的方法更新距离矩阵 :

 

 

5、不断反复的更新距离矩阵,最终得到资产的聚类结果,如下图(称为dendrogram,系统树图):

 

 

Step2:准对角化处理(Quasi-diagonalization)

 

在这个步骤中,主要是重新组织协方差矩阵的行列,使得最大的值尽量的沿着对角线排列(看下图左右两图对比)。协方差矩阵的准对角化带来的结果是:类似的资产被组织在一起,而不太类似的资产被隔离的远远的。

 

 

Step3:递归式二分类处理(Recursive bisection)

 

这一步骤主要是基于以上的结果计算各资产的权重:

 

1、 初始化所有资产权重:

 

2、基于Step1得到的聚类,从树形图的顶部到最底部依次将树分为左右两部分(分别用V1,V2标志),如下图所示:

 

 

3、从树的根部开始,根据以下公式及Step2的协方差矩阵计算考虑权重后的V1,V2:

 

其中:

 

4、基于以上更新后的V1,V2,按以下公式调整左右两个分支的资产权重:

 

5、重复上述步骤,直到计算至最底部的节点。

 

标准的HRP有现在的Python实现,具体参考:

 

https://github.com/robertmartin8/PyPortfolioOpt/blob/master/cookbook/5-Hierarchical-Risk-Parity.ipynb

 

HRP存在哪些改进的空间?

 

在本篇文章中,作者参考标准的HRP步骤,主要从聚类的方法上提出了改进,首先把聚类分成了两大类:序列聚类Seriation-based和树聚类Tree-based,树聚类又考虑了固定聚类法和自适应聚类法。

 

首先是不同的序列聚类Seriation-based方法,如下表所示,以下方法主要参考自 Hahsler, Hornik,  Buchta (2008),并在R语言中有现成的实现方式。

 

 

然后是不同的树聚类方法,作者主要测试了Agglomerative(从下至上)、Divisive(从上至下)、Hierarchical graph community(基于图论)的聚类方法,下表给出了具体方法大部分在scikit-learn有python的实现,大家可以搜索Name查找具体说明。

 

 

关于以上聚类方法的选用,作者采用了两种方式,一种是固定,一种是根据某个指标的结果动态的自适应的选用最优的聚类方法,所以关于选取的标准又有不同的指标,具体如下:

 

 

在采用自适应树聚类时,还考虑了不同距离的计算方式,如下表所示。

 

 

综合以上所有的可变选项,作者基于以下资产,测试了近60种组合优化的方法,并给出了改进后方法相对于标准方法夏普比率的变动(改进方法减去标准方法),如下表:

 

 

所有待测试的方法,如下:

 

 

最终测试结果如下,可以发现大部分的方法相对于标准方法并,效果没有提升。但是大部分的Tree-based的固定聚类方法的结果表现比标准方法优秀, 如HRP_hcs_average。其中效果最好的是HRP_hcs-geometric,即固定采用geometric层次聚类,且距离计算方式与标准方法一致的组合优化方法。

 

 

参考文献

 

1、The hierarchical risk parity algorithm: An introduction. Hudson & Thames. (2021, January 11). Retrieved October 25, 2021, from https://hudsonthames.org/an-introduction-to-the-hierarchical-risk-parity-algorithm/.

 

2、Hahsler, M., K. Hornik, and C. Buchta. 2008. “Getting Things in Order: An Introduction to the r Package Seriation.” Journal of Statistical Software 25 (3): 1–34.

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