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线性代数的本质——逆矩阵与线性方程组

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这次依旧是通过线性变换来了解逆矩阵、列空间、秩和零空间的概念。注意其中并不会讨论计算方法。首先我们能体会到了用矩阵来描述对空间的线性变换,线性代数不但在计算机图形学和机器人学中非常有用,还能帮助我们求解线性方程组,那就先从恒等变换和线性方程组的关系开始吧!

 

线性方程组与矩阵向量乘法

 

线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组:

 

 

如下上图所示,对于一个线性方程组,我们可以看成是一个未知变量,也就是上面的 $\vec{x}$ ,被一个矩阵做线性变换,然后得到一个新的向量 $\vec{v}$ ,我们需要求解得出的就是原来的向量。

 

注意,这不仅仅只是将方程组写进一行的书写技巧,还阐述了这个问题中最优美的几何直观部分。整个求解方程组的过程尽然就是寻找原本传入的向量,即 $A\vec{x} = \vec{v}$,$A$ 和 $\vec{v}$ 都是已知的,求解出 $\vec{x}$ 即可。

 

逆矩阵的本质——逆变换

 

还记得行列式得意义吗? 行列式的几何意义:矩阵所对应的线性变换改变面积(体积)的比例。 当矩阵行列式为0,说明它将原空间线性变换后压缩为一条线或一个点(二维情况下),即使原空间维度降低。这也解释了为何矩阵列向量线性相关时,经过它的线性变换后,原空间发生维度衰减。它的行列式为0。

 

$det(A)
eq 0$

 

如果矩阵 A 的行列式不为0,说明空间并不会被挤压为零面积的区域,此时有且仅有一个向量在变换后与 $\vec{v}$ 重合,我们可以通过逆变换来找到这个向量:

 

 

也就是如同倒带一样,如果一个变换是逆时针旋转90°,那幺它的逆变换就是顺时针旋转90°,此时顺时针旋转90°的矩阵就称为逆时针旋转90°的逆矩阵,记为 $A^{-1}$

 

 

总之, $A^{-1}$ 是满足以下性质的唯一变换:首先应用 $A$ 所代表的变换,再应用 $A^{-1}$ 所代表的变换,就会回到原始状态,两个变换相继作用在代数上体现为矩阵乘法,所以 $A^{-1}$ 的核心性质在于 $A^{-1}$ 乘以 $A$ 等于一个”什幺都不做”的矩阵。这种”什幺都不做”的变换被称为”恒等变换”。所以给矩阵两边都乘以 $A^{-1}$ ,就可以求解向量方程。

 

 

在高维几何直观下其实也非容易理解,依旧是 $A\vec{x} = \vec{v}$,然后两便同时乘以 $A^{-1}$ ,就等于左边什幺都没做,恢复到了初始状态。

 

如此看来,如果 $det(A)
eq 0$,那幺必定存在 $A^{-1}$, 使得应用 $A$ 所代表的变换,再应用 $A^{-1}$ 所代表的变换,就会回到原始状态。此时想要求解方程,只需要将$A^{-1}$与 $\vec{v}$ 相乘即可。

 

$det(A) = 0$

 

如果矩阵 A 的行列式为0,与这个方程组相关的变换将空间压缩到更低的维度,此时没有逆变换,正如你不能将一条直线 “解压缩” 成一个平面,至少这不是一个函数能完成的事情。如果变换将三维空间压缩为一个平面、一条直线、甚至是一个点,那幺它也没有逆变换,它们都对应着行列式为0的情况,此时所有区域都被压缩到零体积。

 

即使不存在逆变换,解仍有可能存在,比如一个变换把空间压缩为一条直线,且向量 $\vec{v}$ 正好处于这条直线上。如果一个三维空间被压缩成一条直线时,那幺与平面相比,解存在的难度就更高了,虽然它们的行列式都是0。

 

是不是觉得如果仅仅用行列式来描述一个变换太单一了呢?

 

其实除了零行列式之外,我们也可以用 “秩” 来描述这个变换,当变换的结果是一条直线的时候,也就是说结果是唯一的,则这个变换的秩就为1,如果变换后的向量落在某个二维平面上,则这个变换的秩就为2,所以:秩代表了变换后空间的维度。对于2×2的矩阵,它的秩最大为2;但是对于3×3的矩阵来说,秩为2意味着空间被压缩了,只不过没有秩为1的时候压缩的那幺严重,如果秩为3,则表示变换后基向量张成的空间仍然是三维空间。

 

列空间、零空间

 

所有可能的输出向量 $A\vec{v}$ 构成的集合就是矩阵A的列空间。矩阵的列表示基向量变换后的位置,这些变换后的基向量张成的空间就是所有可能的变换结果。所以列空间就是矩阵的列所张成的空间。

 

所以秩的更精确的定义就是列空间的维数!

 

当秩达到最大值的时候,则秩与列数相等,此矩阵是满秩矩阵。

 

注意,零向量一定在列空间中,因为线性变换的原则就是原点位置保持不变。对于满秩矩阵来说,唯一能在变换后还保持在原点的就是零向量自身:

 

 

变换后落在原点的向量的集合被称为该矩阵的 “零空间” 或者 “核”

 

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