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一文浅谈深度学习泛化能力

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谷歌最近出品的82页论文《ON THE GENERALIZATION MYSTERY IN DEEP LEARNING》,在此我简单归纳下论文的思想,有兴趣的看看原论文。 论文链接: github.com/aialgorithm/Blog

 

一、DNN泛化能力的问题

 

论文主要探讨的是, 为什幺过参数的神经网络模型还能有不错的泛化性?即并不是简单记忆训练集,而是从训练集中总结出一个通用的规律,从而可以适配于测试集(泛化能力)。

 

以经典的决策树模型为例, 当树模型学习数据集的通用规律时:一种好的情况,假如树第一个分裂节点时,刚好就可以良好区分开不同标签的样本,深度很小,相应的各叶子上面的样本数是够的(即统计规律的数据量的依据也是比较多的),那这会得到的规律就更有可能泛化到其他数据。(即:拟合良好, 有泛化能力)。

 

另外一种较差的情况,如果树学习不好一些通用的规律,为了学习这个数据集,那树就会越来越深,可能每个叶子节点分别对应着少数样本(少数据带来统计信息可能只是噪音),最后,死记硬背地记住所有数据(即:过拟合 无泛化能力)。我们可以看到过深(depth)的树模型很容易过拟合。

 

那幺过参数化的神经网络如何达到良好的泛化性呢?

 

二、 DNN泛化能力的原因

 

本文是从一个简单通用的角度解释——在神经网络的梯度下降优化过程上,探索泛化能力的原因:

 

我们总结了 梯度相干理论 :来自不同样本的梯度产生相干性,是神经网络能有良好的泛化能力原因。当不同样本的梯度在训练过程中对齐良好,即当它们相干时,梯度下降是稳定的,可以很快收敛,并且由此产生的模型可以有良好的泛化性。否则,如果样本太少或训练时间过长,可能无法泛化。

 

基于该理论,我们可以做出如下解释。

 

2.1 宽度神经网络的泛化性

 

更宽的神经网络模型具有良好的泛化能力。这是因为,更宽的网络都有更多的子网络,对比小网络更有产生梯度相干的可能,从而有更好的泛化性。换句话说,梯度下降是一个优先考虑泛化(相干性)梯度的特征选择器,更广泛的网络可能仅仅因为它们有更多的特征而具有更好的特征。

 

论文原文:Generalization and width.  Neyshabur et al. [2018b] found that wider networks generalize better.  Can  we  now  explain  this?  Intuitively,  wider  networks  have  more  sub-networks  at any given level, and so the sub-network with maximum coherence in a wider network may be more coherent than its counterpart in a thinner network, and hence generalize better.  In other words,  since—as discussed in Section 10—gradient descent is a feature selector that prioritizes  well-generalizing  (coherent)  features,  wider  networks  are  likely  to  have  better features  simply  because  they  have  more  features.  In  this  connection,  see  also  the  Lottery Ticket Hypothesis [Frankle and Carbin, 2018]

 

论文链接:https://github.com/aialgorithm/Blog

 

但是个人觉得,这还是要区分下网络输入层/隐藏层的宽度。特别对于数据挖掘任务的输入层,由于输入特征是通常是人工设计的,需要考虑下做下特征选择(即减少输入层宽度),不然直接输入特征噪音,对于梯度相干性影响不也是有干扰的。

 

2.2 深度神经网络的泛化性

 

越深的网络,梯度相干现象被放大,有更好的泛化能力。 在深度模型中,由于层之间的反馈加强了有相干性的梯度,存在相干性梯度的特征(W6)和非相干梯度的特征(W1)之间的相对差异在训练过程中呈指数放大。从而使得更深的网络更偏好相干梯度,从而更好泛化能力。

 

2.3 早停(early-stopping)

 

通过早停我们可以减少非相干梯度的过多影响,提高泛化性。

 

在训练的时候,一些容易样本比其他样本(困难样本)更早地拟合。训练前期,这些容易样本的相干梯度做主导,并很容易拟合好。训练后期,以困难样本的非相干梯度主导了平均梯度g(wt),从而导致泛化能力变差,这个时候就需要早停。 (注:简单的样本,是那些在数据集里面有很多梯度共同点的样本,正由于这个原因,大多数梯度对它有益,收敛也比较快。)

 

2.4  全梯度下降 VS  学习率

 

我们发现全梯度下降也可以有很好的泛化能力。此外,仔细的实验表明随机梯度下降并不一定有更优的泛化,但这并不排除随机梯度更易跳出局部最小值、起着正则化等的可能性。

 

Based on our theory, finite learning rate, and mini-batch stochasticity are not necessary for generalization

 

我们认为较低的学习率可能无法降低泛化误差,因为较低的学习率意味着更多的迭代次数(与早停相反)。

 

Assuming  a  small  enough  learning  rate,  as  training  progresses,  the  generalization  gap cannot  decrease.  This  follows  from  the  iterative  stability  analysis  of  training:  with 40 more  steps,  stability  can  only  degrade.  If  this  is  violated  in  a  practical  setting,  it  would point to an interesting limitation of the theory

 

2.5 L2、L1正则化

 

目标函数加入L2、L1正则化,相应的梯度计算, L1正则项需增加的梯度为sign(w) ,L2梯度为w。以L2正则为例,相应的梯度W(i+1)更新公式为: 我们可以把“L2正则化(权重衰减)”看作是一种“背景力”,可将每个参数推近于数据无关的零值 ( L1容易得到稀疏解,L2容易得到趋近0的平滑解) ,来消除在弱梯度方向上影响。只有在相干梯度方向的情况下,参数才比较能脱离“背景力”,基于数据完成梯度更新。

 

2.6 梯度下降算法的进阶

 

Momentum 、Adam等梯度下降算法

 

Momentum 、Adam等梯度下降算法,其参数W更新方向不仅由当前的梯度决定,也与此前累积的梯度方向有关(即,保留累积的相干梯度的作用)。这使得参数中那些梯度方向变化不大的维度可以加速更新,并减少梯度方向变化较大的维度上的更新幅度,由此产生了加速收敛和减小震荡的效果。

 

抑制弱梯度方向的梯度下降

 

我们可以通过优化批次梯度下降算法,来抑制弱梯度方向的梯度更新,进一步提高了泛化能力。比如,我们可以使用梯度截断(winsorized gradient descent),排除梯度异常值后的再取平均值。或者取梯度的中位数代替平均值,以减少梯度异常值的影响。

 

小结

 

文末说两句,对于深度学习的理论,有兴趣可以看下论文提及的相关研究。个人水平有限,不足之处还望指教,有什幺见解,欢迎学习群相互讨论下。

 

– END –

 

 

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