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前言
投资组合管理的挑战之一是及时发现金融市场压力期，其典型特征是波动性增加和资产相关性崩溃。Chow等曾提出通过马氏距离（Mahalanobis distance）来度量金融市场的压力。Kritzman和Li等将这一指标称为动荡指数（Turbulence Index），并实证说明了它在投资组合管理中的一些可能应用。在本篇文章中，我们将展示如何计算全球金融市场的动荡指数，以及如何使用这个动荡指数来衡量美国股票投资组合的市场敞口。
动荡指数（Turbulence Index）
假设：
表示所有资产的数量；
表示这n个资产在过去时期的平均收益率向量；
表示这n个资产在过去时期的收益率协方差矩阵；
表示n个资产在t时期的收益率向量，。
动荡指数的定义如下：
动荡指数（The Turbulence Index）是衡量统计异常程度的指标，它既考虑了回报率的大小，也考虑了它们之间的相互作用。
动荡指数量化了给定资产范围内异常行为的程度。其背后的解释是，资产回报率、波动性和相关性，它们与历史正常状态的差异越大，就越有可能是某个重大市场事件造成的，而不是随机噪声。
性质1：动荡指数是呈椭圆分布资产收益的多元距离的适当度量，其中包括多元正态分布、t分布和开方分布。
性质2：在对资产收益进行仿射变换时，动荡指数是恒定的（invariant）。
实证研究也表明，它往往在金融市场压力明显的时期，比如1987年的黑色星期一、海湾战争或全球金融危机在最初的飙升之后，它往往会在几周内保持高位。
实证
接下来，我们基于以下资产大类分析动荡指数应用在组合管理的效果：
与之前文献中不同的是，我们在每个周最后一个交易日，基于前6个月的窗口滚动计算动荡指数。全球金融市场2009年至2022年的动荡指数如下图所示：
可以清晰的看出，动荡指数往往在可确定的金融市场压力时期飙升：欧洲债务危机、2011年8月股市下跌、COVID-19大流行、俄罗斯入侵乌克兰……在最初的飙升之后，动荡指数往往会在几周内保持高位。因此，2009 – 2022年期间的动荡指数与12年前Krizman在1980 – 2009年期间建立的指数具有相同的实证效果，这说明动荡指数的表现非常稳健。
我们可以在组合管理中，以动荡指数作为优化目标。 特别是，知道动荡指数上升的时期往往对应于低于通常资产回报的时期，就有可能通过控制动荡指数的峰值来增强投资组合的风险回报 。我们利用美国股票市场的数据，来验证这个想法。具体策略逻辑如下，在每个周末：
计算前文定义的全球金融市场动荡指数的值；
确定动荡指数相历史值高出的百分比s%；
将投资组合的s%配置为现金，将投资组合的1-s%配置为美国股票。
下面给出了该策略与买入持有策略表现对比，可以看出动荡指数在风险管理中有非常明显的效果，我们可以看出马氏距离在金融市场背景下被引入20多年后，以动荡指数的形式被证明是一个有用的金融风险指标。
参考文献
M. Kritzman, Y. Li, Skulls, Financial Turbulence, and Risk Management,Financial Analysts Journal, Volume 66, Number 5, Pages 30-41, Year 2010.
George Chow, Jacquier, E., Kritzman, M., & Kenneth Lowry. (1999). Optimal Portfolios in Good Times and Bad. Financial Analysts Journal, 55(3), 65–73..
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