MNIST 手写数字数据集

#### 主成分分析(PCA)降维算法

PCA 是一种基于从高维空间映射到低维空间的映射方法，也是最基础的无监督降维算法，其目标是向数据变化最大的方向投影，或者说向重构误差最小化的方向投影。它由 Karl Pearson 在 1901 年提出，属于线性降维方法。与 PCA 相关的原理通常被称为最大方差理论或最小误差理论。这两者目标一致，但过程侧重点则不同。

```from __future__ import print_function
from sklearn import datasets
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.cm as cmx
import matplotlib.colors as colors
import numpy as np
%matplotlib inline
def shuffle_data(X, y, seed=None):
if seed:
np.random.seed(seed)
idx = np.arange(X.shape[0])
np.random.shuffle(idx)
return X[idx], y[idx]
# 正规化数据集 X
def normalize(X, axis=-1, p=2):
lp_norm = np.atleast_1d(np.linalg.norm(X, p, axis))
lp_norm[lp_norm == 0] = 1
return X / np.expand_dims(lp_norm, axis)
# 标准化数据集 X
def standardize(X):
X_std = np.zeros(X.shape)
mean = X.mean(axis=0)
std = X.std(axis=0)
# 做除法运算时请永远记住分母不能等于 0 的情形
# X_std = (X - X.mean(axis=0)) / X.std(axis=0)
for col in range(np.shape(X)[1]):
if std[col]:
X_std[:, col] = (X_std[:, col] - mean[col]) / std[col]
return X_std
# 划分数据集为训练集和测试集
def train_test_split(X, y, test_size=0.2, shuffle=True, seed=None):
if shuffle:
X, y = shuffle_data(X, y, seed)
n_train_samples = int(X.shape[0] * (1-test_size))
x_train, x_test = X[:n_train_samples], X[n_train_samples:]
y_train, y_test = y[:n_train_samples], y[n_train_samples:]
return x_train, x_test, y_train, y_test
# 计算矩阵 X 的协方差矩阵
def calculate_covariance_matrix(X, Y=np.empty((0,0))):
if not Y.any():
Y = X
n_samples = np.shape(X)[0]
covariance_matrix = (1 / (n_samples-1)) * (X - X.mean(axis=0)).T.dot(Y - Y.mean(axis=0))
return np.array(covariance_matrix, dtype=float)
# 计算数据集 X 每列的方差
def calculate_variance(X):
n_samples = np.shape(X)[0]
variance = (1 / n_samples) * np.diag((X - X.mean(axis=0)).T.dot(X - X.mean(axis=0)))
return variance
# 计算数据集 X 每列的标准差
def calculate_std_dev(X):
std_dev = np.sqrt(calculate_variance(X))
return std_dev
# 计算相关系数矩阵
def calculate_correlation_matrix(X, Y=np.empty([0])):
# 先计算协方差矩阵
covariance_matrix = calculate_covariance_matrix(X, Y)
# 计算 X, Y 的标准差
std_dev_X = np.expand_dims(calculate_std_dev(X), 1)
std_dev_y = np.expand_dims(calculate_std_dev(Y), 1)
correlation_matrix = np.divide(covariance_matrix, std_dev_X.dot(std_dev_y.T))
return np.array(correlation_matrix, dtype=float)
class PCA():
"""
主成份分析算法 PCA，非监督学习算法.
"""
def __init__(self):
self.eigen_values = None
self.eigen_vectors = None
self.k = 2
def transform(self, X):
"""
将原始数据集 X 通过 PCA 进行降维
"""
covariance = calculate_covariance_matrix(X)
# 求解特征值和特征向量
self.eigen_values, self.eigen_vectors = np.linalg.eig(covariance)
# 将特征值从大到小进行排序，注意特征向量是按列排的，即 self.eigen_vectors 第 k 列是 self.eigen_values 中第 k 个特征值对应的特征向量
idx = self.eigen_values.argsort()[::-1]
eigenvalues = self.eigen_values[idx][:self.k]
eigenvectors = self.eigen_vectors[:, idx][:, :self.k]
# 将原始数据集 X 映射到低维空间
X_transformed = X.dot(eigenvectors)

return X_transformed
def main():
X = data.data
y = data.target
# 将数据集 X 映射到低维空间
X_trans = PCA().transform(X)
x1 = X_trans[:, 0]
x2 = X_trans[:, 1]
cmap = plt.get_cmap('viridis')
colors = [cmap(i) for i in np.linspace(0, 1, len(np.unique(y)))]
class_distr = []
# Plot the different class distributions
for i, l in enumerate(np.unique(y)):
_x1 = x1[y == l]
_x2 = x2[y == l]
_y = y[y == l]
class_distr.append(plt.scatter(_x1, _x2, color=colors[i]))
plt.legend(class_distr, y, loc=1)
# Axis labels
plt.xlabel('Principal Component 1')
plt.ylabel('Principal Component 2')
plt.show()
if __name__ == "__main__":
main()```

PCA 降维算法展示

### 其它降维算法及代码地址

KPCA(kernel PCA)

KPCA 是核技术与 PCA 结合的产物，它与 PCA 主要差别在于计算协方差矩阵时使用了核函数，即是经过核函数映射之后的协方差矩阵。

KPCA 降维算法展示

https://github.com/heucoder/dimensionality_reduction_alo_codes/blob/master/codes/PCA/KPCA.py

LDA(Linear Discriminant Analysis)

LDA 是一种可作为特征抽取的技术，其目标是向最大化类间差异，最小化类内差异的方向投影，以利于分类等任务即将不同类的样本有效的分开。LDA 可以提高数据分析过程中的计算效率，对于未能正则化的模型，可以降低维度灾难带来的过拟合。

LDA 降维算法展示

https://github.com/heucoder/dimensionality_reduction_alo_codes/tree/master/codes/LDA

MDS(multidimensional scaling)

MDS 即多维标度分析，它是一种通过直观空间图表示研究对象的感知和偏好的传统降维方法。该方法会计算任意两个样本点之间的距离，使得投影到低维空间之后能够保持这种相对距离从而实现投影。

MDS 降维算法展示

https://github.com/heucoder/dimensionality_reduction_alo_codes/tree/master/codes/MDS

ISOMAP

Isomap 即等度量映射算法，该算法可以很好地解决 MDS 算法在非线性结构数据集上的弊端。

MDS 算法是保持降维后的样本间距离不变，Isomap 算法则引进了邻域图，样本只与其相邻的样本连接，计算出近邻点之间的距离，然后在此基础上进行降维保距。

ISOMAP 降维算法展示

https://github.com/heucoder/dimensionality_reduction_alo_codes/tree/master/codes/ISOMAP

LLE(locally linear embedding)LLE 即局部线性嵌入算法，它是一种非线性降维算法。该算法核心思想为每个点可以由与它相邻的多个点的线性组合而近似重构，然后将高维数据投影到低维空间中，使其保持数据点之间的局部线性重构关系，即有相同的重构系数。在处理所谓的流形降维的时候，效果比 PCA 要好很多。

LLE 降维算法展示

https://github.com/heucoder/dimensionality_reduction_alo_codes/tree/master/codes/LLE

t-SNE

t-SNE 也是一种非线性降维算法，非常适用于高维数据降维到 2 维或者 3 维进行可视化。它是一种以数据原有的趋势为基础，重建其在低纬度(二维或三维)下数据趋势的无监督机器学习算法。

t-SNE 降维算法展示

https://github.com/heucoder/dimensionality_reduction_alo_codes/tree/master/codes/T-SNE

LE(Laplacian Eigenmaps)

LE 即拉普拉斯特征映射，它与 LLE 算法有些相似，也是以局部的角度去构建数据之间的关系。它的直观思想是希望相互间有关系的点(在图中相连的点)在降维后的空间中尽可能的靠近;以这种方式，可以得到一个能反映流形的几何结构的解。

LE 降维算法展示

https://github.com/heucoder/dimensionality_reduction_alo_codes/tree/master/codes/LE

LPP(Locality Preserving Projections)

LPP 即局部保留投影算法，其思路和拉普拉斯特征映射类似，核心思想为通过最好的保持一个数据集的邻居结构信息来构造投影映射，但 LPP 不同于 LE 的直接得到投影结果，它需要求解投影矩阵。

LPP 降维算法展示

https://github.com/heucoder/dimensionality_reduction_alo_codes/tree/master/codes/LPP

*《dimensionality_reduction_alo_codes》项目作者简介

Heucoder，目前是哈尔滨工业大学计算机技术在读硕士生，主要活跃于互联网领域，知乎昵称为「超爱学习」，其 github 主页地址为：https://github.com/heucoder。

Github 项目地址:

https://github.com/heucoder/dimensionality_reduction_alo_codes