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手把手推导Back Propagation

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撰文|月踏

 

BP(Back Propagation)是深度学习神经网络的理论核心,本文通过两个例子展示手动推导BP的过程。

 

1

 

链式法则

 

链式法则是BP的核心,分两种情况:

 

 

1. 一元方程

 

 

在一元方程的情况下,链式法则比较简单,假设存在下面两个函数:

 

那幺x的变化最终会影响到z的值,用数学符号表示如下:

 

z对x的微分可以表示如下:

 

2.
多元方程

 

在多元方程的情况下,链式法则稍微复杂一些,假设存在下面三个函数:

 

 

 

因为s的微小变化会通过g(s)和h(s)两条路径来影响z的结果,这时z对s的微分可以表示如下:

 

这就是链式法则的全部内容,后面用实际例子来推导BP的具体过程。

 

2

 

只有一个weight的简单情况

 

做了一个简单的网络,这可以对应到链式法则的第一种情况,如下图所示:

 

 

 


图1

 

其中圆形表示叶子节点,方块表示非叶子节点,每个非叶子节点的定义如下,训练过程中的前向过程会根据这些公式进行计算:

 

 

 

这个例子中,我们是想更新w1、b1、w2三个参数值,假如用lr表示learning rate,那幺它们的更新公式如下:

 

 

 

在训练开始之前,b1、w1、w2都会被初始化成某个值,在训练开始之后,参数根据下面两个步骤来进行更新:

 

 

先进行一次前向计算,这样可以得到y1、y2、y3、loss的值

 

再进行一次反向计算,得到每个参数的梯度值,进而根据上面的公式(13)、(14)、(15)来更新参数值

 

 

下面看下反向传播时的梯度的计算过程,因为梯度值是从后往前计算的,所以先看w2的梯度计算:

 

 

 

再继续看w1的梯度计算:

 

 

 

最后看b1的梯度计算:

 

 

 

把w2、w1、b1的梯度计算出来之后,就可以按照公式(13)、(14)、(15)来更新参数值了,下面用OneFlow按照图1搭建一个对应的网络做实验,代码如下:

 

import oneflow as of
import oneflow.nn as nn
import oneflow.optim as optim


class Sample(nn.Module):
    def __init__(self):
        super(Sample, self).__init__()
        self.w1 = of.tensor(10.0, dtype=of.float, requires_grad=True)
        self.b1 = of.tensor(1.0, dtype=of.float, requires_grad=True)
        self.w2 = of.tensor(20.0, dtype=of.float, requires_grad=True)
        self.loss = nn.MSELoss()


    def parameters(self):
        return [self.w1, self.b1, self.w2]


    def forward(self, x, label):
        y1 = self.w1 * x + self.b1
        y2 = y1 * self.w2
        y3 = 2 * y2
        return self.loss(y3, label)


model = Sample()


optimizer = optim.SGD(model.parameters(), lr=0.005)
data = of.tensor(1.0, dtype=of.float)
label = of.tensor(500.0, dtype=of.float)


loss = model(data, label)
print("------------before backward()---------------")
print("w1 =", model.w1)
print("b1 =", model.b1)
print("w2 =", model.w2)
print("w1.grad =", model.w1.grad)
print("b1.grad =", model.b1.grad)
print("w2.grad =", model.w2.grad)
loss.backward()
print("------------after backward()---------------")
print("w1 =", model.w1)
print("b1 =", model.b1)
print("w2 =", model.w2)
print("w1.grad =", model.w1.grad)
print("b1.grad =", model.b1.grad)
print("w2.grad =", model.w2.grad)
optimizer.step()
print("------------after step()---------------")
print("w1 =", model.w1)
print("b1 =", model.b1)
print("w2 =", model.w2)
print("w1.grad =", model.w1.grad)
print("b1.grad =", model.b1.grad)
print("w2.grad =", model.w2.grad)
optimizer.zero_grad()
print("------------after zero_grad()---------------")
print("w1 =", model.w1)
print("b1 =", model.b1)
print("w2 =", model.w2)
print("w1.grad =", model.w1.grad)
print("b1.grad =", model.b1.grad)
print("w2.grad =", model.w2.grad)

 

这段代码只跑了一次forward和一次backward,然后调用step更新了参数信息,最后调用zero_grad来对这一轮backward算出来的梯度信息进行了清零,运行结果如下:

 

------------before backward()---------------
w1 = tensor(10., requires_grad=True)
b1 = tensor(1., requires_grad=True)
w2 = tensor(20., requires_grad=True)
w1.grad = None
b1.grad = None
w2.grad = None
------------after backward()---------------
w1 = tensor(10., requires_grad=True)
b1 = tensor(1., requires_grad=True)
w2 = tensor(20., requires_grad=True)
w1.grad = tensor(-4800.)
b1.grad = tensor(-4800.)
w2.grad = tensor(-2640.)
------------after step()---------------
w1 = tensor(34., requires_grad=True)
b1 = tensor(25., requires_grad=True)
w2 = tensor(33.2000, requires_grad=True)
w1.grad = tensor(-4800.)
b1.grad = tensor(-4800.)
w2.grad = tensor(-2640.)
------------after zero_grad()---------------
w1 = tensor(34., requires_grad=True)
b1 = tensor(25., requires_grad=True)
w2 = tensor(33.2000, requires_grad=True)
w1.grad = tensor(0.)
b1.grad = tensor(0.)
w2.grad = tensor(0.)

 

3

 

以conv为例的含有多个weights的情况

 

用一个非常简单的conv来举例,这个conv的各种属性如下:

 

 

 

如下图所示:

 

 

 


图2

 

假定这个例子中的网络结构如下图:

 

 

 


图3

 

在这个简单的网络中,z节点表示一个avg-pooling的操作,kernel是2×2,loss采用均方误差,下面是对应的公式:

 

 

 

前传部分同上一节一样,直接看反传过程,目的是为了求w0、w1、w2、w3的梯度,并更新这四个参数值,以下是求w0梯度的过程:

 

 

 

下面是求w1、w2、w3梯度的过程类似,直接写出结果:

 

 

 

最后再按照下面公式来更新参数即可:

 

 

 

用OneFlow按照图3来搭建一个对应的网络做实验,代码如下:

 

import oneflow as of
import oneflow.nn as nn
import oneflow.optim as optim


class Sample(nn.Module):
    def __init__(self):
        super(Sample, self).__init__()
        self.op1 = nn.Conv2d(in_channels=1, out_channels=1, kernel_size=(2,2), bias=False)
        self.op2 = nn.AvgPool2d(kernel_size=(2,2))
        self.loss = nn.MSELoss()


    def forward(self, x, label):
        y1 = self.op1(x)
        y2 = self.op2(y1)
        return self.loss(y2, label)


model = Sample()


optimizer = optim.SGD(model.parameters(), lr=0.005)
data = of.randn(1, 1, 3, 3)
label = of.randn(1, 1, 1, 1)


loss = model(data, label)
print("------------before backward()---------------")
param = model.parameters()
print("w =", next(param))
loss.backward()
print("------------after backward()---------------")
param = model.parameters()
print("w =", next(param))
optimizer.step()
print("------------after step()---------------")
param = model.parameters()
print("w =", next(param))
optimizer.zero_grad()
print("------------after zero_grad()---------------")
param = model.parameters()
print("w =", next(param))

 

输出如下(里面的input、param、label的值都是随机的,每次运行的结果会不一样):

 

------------before backward()---------------
w = tensor([[[[ 0.2621, -0.2583],
          [-0.1751, -0.0839]]]], dtype=oneflow.float32, grad_fn=<accumulate_grad>)
------------after backward()---------------
w = tensor([[[[ 0.2621, -0.2583],
          [-0.1751, -0.0839]]]], dtype=oneflow.float32, grad_fn=<accumulate_grad>)
------------after step()---------------
w = tensor([[[[ 0.2587, -0.2642],
          [-0.1831, -0.0884]]]], dtype=oneflow.float32, grad_fn=<accumulate_grad>)
------------after zero_grad()---------------
w = tensor([[[[ 0.2587, -0.2642],
          [-0.1831, -0.0884]]]], dtype=oneflow.float32, grad_fn=<accumulate_grad>)

 

参考资料:

 


1.http://speech.ee.ntu.edu.tw/~tlkagk/courses.html

 


2.https://speech.ee.ntu.edu.tw/~hylee/index.php

 


3.https://www.youtube.com/c/HungyiLeeNTU

 

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