深度学习入门之自动求导（Pytorch）

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自动求导

自动求导

链式法则和自动求导

向量链式法则

标量链式法则

y = f ( u ) , u = g ( x )   ∂ y ∂ x = ∂ y ∂ u ∂ u ∂ x y=f(u),u=g(x) \quad\ {\partial y \over \partial x}={\partial y \over \partial u}{\partial u \over \partial x} f ( u ) , u = g ( x )   =

拓展到向量

自动求导

自动求导计算一个函数在指定值上的导数
它有别于

符号求导
l n [ 1 ] : = D [ 4 x 3 + x 2 + 3 , x ] ln[1]:= D[4x^3+x^2+3, x] l n [ 1 ] : D [ 4 x 3 + 3 , x ]
O u t [ 1 ] = 2 x + 12 x 2 Out[1]= 2x+12x^2 O u t [ 1 ] = 2 x + 1 2 x 2
数值求导
∂ f ( x ) ∂ x = l i m h − > 0 f ( x + h ) − f ( x ) h {\partial f(x) \over \partial x }= lim_{h->0}{f(x+h) – f(x) \over h} ∂ x ∂ f ( x ) ​ = l i m h − > 0 ​ h f ( x + h ) − f ( x ) ​

将代码分解成操作子
将计算表示成一个无环图

显示构造

Tensorflow/Theano/MXNet

from mxnet import sym
a = sym.var()
b = sym.var()
c = 2 * a + b
# bind data into a and b later

先定义好公式，再将数值带入

隐式构造

Pytorch/MXNet

from mxnet import autograd, nd
with autograd.record():
a = nd.ones((2, 1))
b = nd.ones((2, 1))
c = 2 * a + b

自动求导的两种模式

反向累积

反向累积总结

构造计算图
前向：执行图，存储中间结果
反向：从相反方向执行图

去除不需要的枝

计算复杂度：O(n),n是操作子个数

通常正向和方向的代价类似

内存复杂度：O(n)，因为需要存储正向的所有中间结果

因为要存储所有中间结果，所以特别耗GPU资源

跟正向累积对比：

O(n)计算复杂度用来计算一个变量的梯度
O(1)内存复杂度

自动求导实现

自动求导

假设我们想对函数 y = 2 x T x y = 2x^Tx 2 x T x 关于列向量 x 求导

import torch
x = torch.arange(4.0)
x

tensor([0., 1., 2., 3.])

在我们计算 y 关于 x 的梯度之前，我们需要一个地方来存储梯度。

x.requires_grad(True)# 等价于 `x = torch.arange(4.0, requires_grad=True)`
x.grad# 默认值是None

现在让我们计算y。

y = 2 * torch.dot(x, x)
y

tensor(28.)

通过调用反向传播函数来自动计算 y 关于 x 每个分量的梯度

y.backward()
x.grad

tensor([ 0., 4., 8., 12.])

算出来的值应该是 4x，可以验证一下

x.grad == 4 * x

tensor([True, True, True, True])

现在让我们计算 x 的另一个函数

# 在默认情况下，PyTorch会累积梯度，我们需要清除之前的值
x.grad.zero_()
y = x.sum()
y.backward()
x.grad

tensor([1., 1., 1., 1.])

深度学习中，我们的目的不是计算微分矩阵，而是批量中每个样本单独计算的偏导数之和。

# 对非标量用`backword`需要传入一个`gradient`参数，该参数指定微分参数
x.grad.zero_()
y = x * x
# 等价于y.backword(torch.ones(len(x))
y.sum().backward()
x.grad

tensor([0., 2., 4., 6.])

为什幺求导的时候要进行这个sum操作?

梯度只能为标量（即一个数）输出隐式地创建。

将某些计算移动到记录的计算图之外

x.grad.zero_()
y = x * x
u = y.detach()# 将参数常数化
z = u * x
z.sum().backward()
x.grad == u

tensor([True, True, True, True])

后期再将一些网络参数固定住的时候，很有用

x.grad.zero_()
y.sum().backward()
x.grad == 2 * x

tensor([True, True, True, True])

即使构建函数的计算图需要通过 Python 控制流（例如，条件、循环或任意函数调用），我们仍然可以计算得到的变量的梯度。

def f(a):
b = a * 2
while b.norm() < 1000:
b = b * 2
if b.sum() > 0:
c = b
else:
c = 100 * b
return c
a = torch.randn(size=(), requires_grad=True)
d = f(a)
d.backward()
a.grad == d / a

tensor(True)

显示构造和隐式构造的区别？

显示计算：先给公式再给值

隐式计算：先给值再给公式

为什幺深度学习一般对标量求导？

因为 Loss 大多时候就是标量。