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自动求导
自动求导
链式法则和自动求导
向量链式法则
标量链式法则
y = f ( u ) , u = g ( x ) ∂ y ∂ x = ∂ y ∂ u ∂ u ∂ x y=f(u),u=g(x) \quad\ {\partial y \over \partial x}={\partial y \over \partial u}{\partial u \over \partial x} f ( u ) , u = g ( x ) =
拓展到向量
自动求导
自动求导计算一个函数在指定值上的导数
它有别于
符号求导
l n [ 1 ] : = D [ 4 x 3 + x 2 + 3 , x ] ln[1]:= D[4x^3+x^2+3, x] l n [ 1 ] : D [ 4 x 3 + 3 , x ]
O u t [ 1 ] = 2 x + 12 x 2 Out[1]= 2x+12x^2 O u t [ 1 ] = 2 x + 1 2 x 2
数值求导
∂ f ( x ) ∂ x = l i m h − > 0 f ( x + h ) − f ( x ) h {\partial f(x) \over \partial x }= lim_{h->0}{f(x+h) – f(x) \over h} ∂ x ∂ f ( x ) = l i m h − > 0 h f ( x + h ) − f ( x )
将代码分解成操作子
将计算表示成一个无环图
显示构造
Tensorflow/Theano/MXNet
from mxnet import sym a = sym.var() b = sym.var() c = 2 * a + b # bind data into a and b later
先定义好公式,再将数值带入
隐式构造
Pytorch/MXNet
from mxnet import autograd, nd with autograd.record(): a = nd.ones((2, 1)) b = nd.ones((2, 1)) c = 2 * a + b
自动求导的两种模式
反向累积
反向累积总结
构造计算图
前向:执行图,存储中间结果
反向:从相反方向执行图
去除不需要的枝
计算复杂度:O(n),n是操作子个数
通常正向和方向的代价类似
内存复杂度:O(n),因为需要存储正向的所有中间结果
因为要存储所有中间结果,所以特别耗GPU资源
跟正向累积对比:
O(n)计算复杂度用来计算一个变量的梯度
O(1)内存复杂度
自动求导实现
自动求导
假设我们想对函数 y = 2 x T x y = 2x^Tx 2 x T x 关于列向量 x 求导
import torch x = torch.arange(4.0) x
tensor([0., 1., 2., 3.])
在我们计算 y 关于 x 的梯度之前,我们需要一个地方来存储梯度。
x.requires_grad(True)# 等价于 `x = torch.arange(4.0, requires_grad=True)` x.grad# 默认值是None
现在让我们计算y。
y = 2 * torch.dot(x, x) y
tensor(28.)
通过调用反向传播函数来自动计算 y
关于 x
每个分量的梯度
y.backward() x.grad
tensor([ 0., 4., 8., 12.])
算出来的值应该是 4x,可以验证一下
x.grad == 4 * x
tensor([True, True, True, True])
现在让我们计算 x
的另一个函数
# 在默认情况下,PyTorch会累积梯度,我们需要清除之前的值 x.grad.zero_() y = x.sum() y.backward() x.grad
tensor([1., 1., 1., 1.])
深度学习中,我们的目的不是计算微分矩阵,而是批量中每个样本单独计算的偏导数之和。
# 对非标量用`backword`需要传入一个`gradient`参数,该参数指定微分参数 x.grad.zero_() y = x * x # 等价于y.backword(torch.ones(len(x)) y.sum().backward() x.grad
tensor([0., 2., 4., 6.])
为什幺求导的时候要进行这个sum操作?
梯度只能为标量(即一个数)输出隐式地创建。
将某些计算移动到记录的计算图之外
x.grad.zero_() y = x * x u = y.detach()# 将参数常数化 z = u * x z.sum().backward() x.grad == u
tensor([True, True, True, True])
后期再将一些网络参数固定住的时候,很有用
x.grad.zero_() y.sum().backward() x.grad == 2 * x
tensor([True, True, True, True])
即使构建函数的计算图需要通过 Python 控制流(例如,条件、循环或任意函数调用),我们仍然可以计算得到的变量的梯度。
def f(a): b = a * 2 while b.norm() < 1000: b = b * 2 if b.sum() > 0: c = b else: c = 100 * b return c a = torch.randn(size=(), requires_grad=True) d = f(a) d.backward() a.grad == d / a
tensor(True)
显示构造和隐式构造的区别?
显示计算:先给公式再给值
隐式计算:先给值再给公式
为什幺深度学习一般对标量求导?
因为 Loss 大多时候就是标量。
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