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AI遮天传 ML-决策树

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决策树学习是最早被提出的一批机器学习的方法之一,由于它好用且具有很强的可解释性,到现在依然在被广泛使用。

 

一、决策树学习基础

 

(比较简单,一带而过)

 

例:享受一种运动

 

 

对于新的一天,是否可以去享受运动?

 

适用决策树学习的经典目标问题

带有非数值特征的分类问题
离散特征
没有相似度的
特征无序

另一个例子:水果

颜色:红色、绿色、黄色
大小:小、中、大
形状:球形、细长
味道:甜、酸

样本表示

 

属性的列表而非数值向量

 

例如享受运动的例子:

6值属性:天气、温度、湿度、风、水温、预测天气
某一天的天气实例:{晴、暖、一般、强、暖、不变}

例如水果的例子:

4值元组:颜色、大小、形状、味道
某个水果的实例: {红、球形、小、甜}

训练样本

 

 

决策树概念

 

 

决策树发展历史-里程碑

 

• 1966,由Hunt首先提出

 

• 1970’s~1980’s

 

• CART 由Friedman, Breiman提出

 

• ID3 由 Quinlan 提出

 

• 自1990’s以来

 

• 对比研究、算法改进(Mingers, Dietterich, Quinlan, etc.)

 

• 最广泛使用的决策树算法: C4.5 由 Quinlan 在 1993 年提

 

二、经典决策树算法 – ID3

 

自顶向下,贪心搜索

 

递归算法

 

核心循环:

A :找出下一步 最佳 决策属性
将 A 作为当前节点决策属性
对属性A (vi )的每个值,创建与其对应的新的子节点
根据属性值将训练样本分配到各个节点
如果 训练样本被完美分类,则退出循环,否则进入递归状态继续向下探分裂新的叶节点

 

如:outlook是我们找出的最佳决策属性,我们就把它当成当前的根节点,根据outlook也就是天气情况我们就会有不同的分支不同的子节点,比如sunny、overcast、rain,如到了overcast就已经结束/有标签了,说明已经被分好了,如果还没被分好,我们就按照数据的取值把一批数据分到sunny、rain对应的分支上,humidity、wind,进入递归继续执行。如此时humidity是我们选择的最佳属性。

 

问题:

 

 

    1. 什幺样的熟悉是最佳的决策属性?

 

    1. 什幺叫做训练样本完美分类?

 

 

Q1:哪个属性是最佳属性?

 

比如这里有两个属性 A1(湿度)和 A2(风力)(64个数据,29个正例35个负例)

 

 

A1为true(湿度大)的有21正 5负 为false(湿度小)的有8正30负

 

A2为true(风力大)的有18正33负 为false(风力小)的有11正2负

 

注:正例是去运动,负例是不去。

 

此时到底A1和A2(湿度和风力)哪个作为根节点/最佳决策属性好呢?

 

当前最佳节点选择的基本原则:简洁

 

—-我们偏向于使用简洁的具有较少节点的树

 

 

如上图,假如有两种水果,西瓜和柠檬。我们使用颜色color作为根节点则只需要根据green还是yellow便能够判断是西瓜还是柠檬。而如果我们选择size大小,大的肯定是西瓜了,而小的说不定还是小西瓜,所以还要根据颜色来判断。

 

属性选择和节点混杂度(Impurity)

 

属性选择的基本原则:简洁

 

—— 我们偏向于使用简洁的具有较少节点的树

 

在每个节点 N上,我们选择一个属性 T,使得到达当前派生节点的数据尽可能 “纯”

 

纯度(purity) – 混杂度(impurity)

 

如上图第一个的例子,经过了 颜色 ,则左边绿色都是西瓜右边黄色都是柠檬

 

而在第二个 尺寸 小 的节点上,又有西瓜又有柠檬,就不够 纯。

 

如何衡量混杂度?

 

1. 熵(Entropy) (广泛使用)

 

 

 

节点N的熵表示为在这个节点下不同的取值 (w:以size大小为例w1是大w2是小, 为w1的概率, 为w2的概率。),每一个 的和的相反数。

定义: 0log0=0
在信息理论中,熵度量了信息的纯度/混杂度,或者信息的不确定性
由上图可知,熵最大的时候概率为一半一半,即此时最不确定。
正态分布 – 具有最大的熵值

计算并判断下图例子:

 

 

可以看到A1 A2都是29+,35-,接近一半一半,熵应该是接近于1的。

 

 

 

蓝线:1个类时概率为1,2个类时概率为0.5,16个类时概率为1/16

 

红线:1个类时最大熵为0,2个类时最大熵为1,无限增长。(其中最大时为均匀分布的)

 

2. Gini 混杂度 ( Duda 倾向于使用 Gini 混杂度)

 

在经济学和社会学上人们用 基尼系数 来衡量一个国家发展的平衡与否。

 

 

表示所有不相同情况的乘积(如果是A、B两种情况则p(A)*p(B),如果是A、B、C三种情况则p(A)*p(B)+p(A)*p(C)+p(B)*p(C))

 

或者 1-相同情况的乘积 ( )

 

 

n = number of class(也是因为是均匀分布的,各部分都是1/n)

 

有了上限,上限为1.

 

3. 错分类混杂度

 

 

1-最大类的概率,即1-大多数进入的那个类(分对了,1-就是错的)

 

 

度量混杂度的变化–信息增益(IG)

 

由于对A的排序整理带来的熵的期望减少量

 

 

原始S的熵值-经过属性A分类以后的期望熵值

 

经计算,可见A1(湿度)的IG(信息增益)更大一些,也就意味着我们获得了更多的信息(减少的熵更多一些),我们选择A1作为根节点。

 

例:根据下表选择用哪个属性做根节点

 

 

Outlook的Gain最大,选它作为根节点。

 

Q2: 何时返回(停止分裂节点)?

 

“如果训练样本被完美分类”

 

• 情形 1: 如果当前子集中所有数据 有完全相同的输出类别,那幺终止

 

 

• 情形 2: 如果当前子集中所有数据 有完全相同的输入特征,那幺终止

 

比如:晴天-无风-湿度正常-温度合适,最后有的去了有的没去。此时即使不终止也没办法了,因为能用的信息已经用完了。这意味着: 1、数据有噪声noise。 需要进行清理,如果噪声过多说明数据质量不够好。 2、漏掉了重要的Feature ,比如漏掉了当天是否有课,有课就没办法出去玩。

 

可能的情形3: 如果 所有属性分裂的信息增益为0, 那幺终止   这是个好想法吗?(No)

 

 

如上图此时树的第一个节点都找不出来(IG都是0),如果3说得对,那此时决策树都无法构建。

 

假如我们不要这个条件,反正都一样,IG都是0,多个最大值的时候随机选一个关系就被构建出来了(此时也完美分类了)

 

 

即在ID3中只有上面两种情况会停止分裂,如果IG=0,则随机取一个就好。

 

ID3算法搜索的假设空间

 

假设空间是完备的(即能处理属性的析取又能处理属性的合取)

目标函数一定在假设空间里

输出单个假设(沿着树的一条路走下去)

不超过20个问题(根据经验,一般feature不超过20个,过于复杂树比较长也容易产生过拟合)

没有回溯(以A1做根节点,没办法退回去看A2做根节点怎幺样)

局部最优

在每一步中使用子集的所有数据(比如梯度下降算法里权值的更新策略是每条数据更新一次的话,那就是每次只使用一条数据)

数据驱动的搜索选择

 

对噪声数据有鲁棒性

 

ID3中的归纳偏置(Inductive Bias)

假设空间 H 是作用在样本集合 X 上的

没有对假设空间作限制

偏向于在靠近根节点处的属性具有更大信息增益的树

尝试找到最短的树

 

该算法的偏置在于对某些假设具有一些偏好 (搜索偏置), 而不是对假设空间 H 做限制(描述偏置).

 

奥卡姆剃刀(Occam’s Razor)*:偏向于符合数据的最短的假设

 

CART (分类和回归树)

 

一个通用的框架:

根据训练数据构建一棵决策树
决策树会逐渐把训练集合分成越来越小的子集
当子集纯净后不再分裂
或者接受一个不完美的决策

许多决策树算法都在这个框架下,包括ID3、C4.5等等。

 

三、过拟合问题

 

 

如上图,b比a更好,但如果像c一样每个点都被完美拟合了,错误率为0,但是如果有一个新的点:

 

 

此时c的算法的误差就太大了,过于匹配训练数据了,使得它在测试的更多未见实例上的泛化能力下降了。

 

决策树过拟合的一个极端例子:

每个叶节点都对应单个训练样本 —— 每个训练样本都被完美地分类
整个树相当于仅仅是一个数据查表算法的简单实现

即此时的树就是一个数据查表,可以类比数据结构里哈希表。这意味着查找时只能查找表里有的数据,对于没有的数据查不到,没什幺泛化能力。

 

 

四、如何避免过拟合

 

对决策树来说有两种方法避免过拟合

当数据的分裂在统计意义上并不显着(如样例少)时,就停止增长:预剪枝
构建一棵完全树,然后再做后剪枝

在实际应用中,一般预剪枝更快, 而后剪枝得到的树准确率更高。

 

对于预剪枝

 

很难估计树的大小

 

预剪枝: 基于样本数

 

通常一个节点不再继续分裂,当:

到达一个节点的训练样本数小于训练集合的一个特定比例 (例如 5%)
无论混杂度或错误率是多少
原因:基于过少数据样本的决定会带来较大误差和泛化错误(盲人摸象)

比如有100个数据,到当前节点只有5个数据了,就不继续向下分了,无论几个正几个负,说明分的过细了。

 

预剪枝: 基于信息增益的阈值

设定一个较小的阈值,如果满足下述条件则停止分裂:

优点: 1. 用到了所有训练数据  2. 叶节点可能在树中的任何一层
缺点: 很难设定一个好的阈值

选IG大的为节点,如果IG最大的还是有点小了, 则停止。

 

对于后剪枝:

 

• 如何选择 “最佳” 的树?
        在另外的验证集合上测试效果
• MDL (Minimize Description Length 最小描述长度):
        minimize ( size(tree) + size(misclassifications(tree)) ) 树的大小和错误率的和最小

 

后剪枝: 错误降低剪枝

 

• 把数据集分为训练集和验证集

 

• 验证集:

 

• 已知标签

 

• 测试效果

 

• 不要在验证集上不做模型更新!

 

• 剪枝直到再剪就会对损害性能:

 

• 在验证集上测试剪去每个可能节点(和以其为根的子树)的影响

 

• 贪心地去掉某个可以提升验证集准确率的节点

 

剪掉某个节点后,如何定义新的叶节点(父亲)的标签呢?

 

剪枝后新的叶节点的标签赋值策略

 

• 赋值成最常见的类别(60个data,50个+10个-,那就+)
• 给这个节点多类别的标签
        每个类别有一个支持度(5/6:1/6) (根据训练集中每种标签的数目)
        测试时: 依据概率(5/6:1/6)选择某个类别或选择多个标签
• 如果是一个回归树 (数值标签),可以做平均或加权平均
• ……

 

错误降低剪枝的效果

 

 

从后到前,在验证集上一点点减枝。

 

后剪枝: 规则后剪枝

 

1. 把树转换成等价的由规则构成的集合

 

• e.g. if (outlook=sunny)^ (humidity=high) then playTennis = no

 

2. 对每条规则进行剪枝,去除哪些能够提升该规则准确率的规则前件

 

i.e. (outlook=sunny)60%, (humidity=high)85%,(outlook=sunny)^                 (humidity=high)80%

 

3. 将规则排序成一个序列 (验证集:根据规则的准确率从高往低排序)

 

4. 用该序列中的最终规则对样本进行分类(依次查看是否满足规则序列,即在规则集合上一条一条往下走直到能判断出来)

 

(注:在规则被剪枝后,它可能不再能恢复成一棵树)

 

一种被广泛使用的方法,例如C4.5

 

为什幺在剪枝前将决策树转化为规则?

 

• 独立于上下文
        • 否则,如果子树被剪枝,有两个选择:
                • 完全删除该节点
                • 保留它
• 不区分根节点和叶节点
• 提升可读性

 

五、扩展: 现实场景中的决策树学习

 

1. 连续属性值

 

 

• 建立一些离散属性值,区间化,便于建立分支

 

• 可选的策略:

 

• I.选择相邻但有不同决策的值的中间值

 

上图48与60,80与90之间yes no变了,我们可以取中间值

 

(Fayyad 在1991年证明了满足这样条件的阈值可以信息增益IG最大化)

 

• II. 考虑概率

 

如正态分布概率密度函数图像,区间长短可以不同,但其面积/数量是相同的。

 

2. 具有过多取值的属性

 

问题:

 

• 偏差: 如果属性有很多值,根据信息增益IG,会优先被选择

 

• e.g. 享受运动的例子中,将一年里的每一天作为属性(又变成像查表了)

 

• 一个可能的解决方法: 用 GainRatio (增益比)来替代

 

 

3. 未知属性值

 

 

有的特征我们不知道是什幺,可以把不知道的选成常见的,或者根据概率赋值。

 

4. 有代价的属性

 

 

即如果feature多,IG可以除以一个惩罚项,有代价可以除以cost…

 

六、其他信息

 

• 决策树可能是最简单和频繁使用的算法

 

• 易于理解

 

• 易于实现

 

• 易于使用

 

• 计算开销小

 

• 决策森林:

 

• 由C4.5产生的许多决策树

 

• 更新的算法:C5.0 http://www.rulequest.com/see5-info.html

 

• Ross Quinlan的主页: http://www.rulequest.com/Personal/

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