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3. 训练一个Softmax线性分类器
3.2 计算分类分数（class scores）
3.4 计算交叉熵损失函数
3.5 基于反向传播计算解析梯度（analytic gradient）
3.7 组装到一起进行训练
1. 前言
本文编译自斯坦福大学的CS231n课程（2022） Module1课程中神经网络部分之一，原课件网页参见：
CS231n Convolutional Neural Networks for Visual Recognition
本文（本系列）不是对原始课件网页内容的完全忠实翻译，只是作为学习笔记的摘要，主要是自我参考，而且也可能夹带一些私货（自己的理解和延申，不保证准确性）。如果想要更准确地了解更具体的细节，还请服用原文。如果本摘要恰巧也对小伙伴们有所参考则纯属无心插柳概不认账^-^。
前面几篇：
CS231n-2022 Module1: 神经网络1：Setting Up the Architecture
CS231n-2022 Module1: 神经网络3：Learning and Evaluation
2. 数据生成
本实验的目的是通过对比来体现深度神经网络（当然本实验中其实只是有一个隐藏层，即2层神经网络）相对于浅层网络（没有隐藏层，比如说线性分类器，可以看作1层神经网络）的优势，所以我们需要一个线性不可分的数据集，线性分类器无法正确分类，而2层神经网络则能够进行正确分类（具体情况取决于分类问题本身的难易度）。
一般来说我们需要对数据做归一化预处理（比如说，使得数据集的每个feature都变成零均值、单位标准偏差），但是以上玩具数据集的范围已经在[-1, 1]范围内，所以我们可以跳过这一步。
在scikit-learn库中给出了一些常用（玩具）数据集的获取或者生成方法，有兴趣者可以参考：
机器学习笔记：常用数据集之scikit-learn生成分类和聚类数据集
3. 训练一个Softmax线性分类器
正如把大象装到冰箱里需要三步一样，训练一个机器学习模型也由基本固定的套路，以下分步骤说明。对应代码参考最后的3.7中的代码中对应章节号部分。
3.1 参数初始化
本Softmax分类器的参数包括权重参数W和偏置参数b。
W通常用零均值、小方差的高斯分布进行初始化，而b则初始化为全0即可。
3.2 计算分类分数（class scores）
张量下标中的“[]”用于表示张量的维度，以下同。
3.3 计算分类概率
基于softmax函数 将scores变换成对应于各class#k的概率：
3.4 计算交叉熵损失函数
Softmax分类器使用的损失函数为交叉熵损失函数（softmax loss, cross-entropy loss）。给定一个分布P和一个分布Q，交叉熵定义为([1])：
其中，P(x)代表在分布P中x发生的概率，Q(x)代表在分布Q中x发生的概率。
以P代表真值的分布，显然应该是一个one-hot的分布。比如说在本例中有三种分类{0，1，2}，假设样本xi的真值yi = 1，则应该有 。
以Q代表预测值的分布，即Q = [probs[0],probs[1],probs[2]].
则显而易见的是，样本i {xi, yi}的损失应该为：
而整个数据集的总（平均）损失自然应该是：
进一步，还要加上正则化损失（这里考虑 正则化损失）得到：
其中，正则化损失的系数（1/2)仅仅是为了数学推导的方便（平方项求导后会产生2的因子，两者抵消会显得梯度的解析式更清爽一些）。
正则化系数 作为模型的一个超参数进行调节。
如上一篇所述，作为梯度检查的一项，在正则化系数置0，随机初始化后，loss的初始值应该为 （注意，本文中log均指自然对数，即ln()）。可以据此判断loss的实现是否存在明显的错误。
3.5 基于反向传播计算解析梯度（analytic gradient）
上面我们已经得到了损失函数，神经网络训练的目的就是要使损失最小化。我们将采用梯度下降（gradient descent）方法。基本思路是，从随机参数出发，计算损失函数关于这些参数的梯度，并由此确定向哪个方向以多大步长进行参数调节。
为了简洁起见，重写一下分类概率和样本损失（scores –> f, probs –> p, []–>下标），并推导（单个样本 的损失 关于分类k的分数 的）偏导数如下（其中关键是求导的链式法则。偏导数是构成梯度的元素）：
注意，以上推导是针对 的，所以，其中f应该视为关于样本{i}的。所以， 应该写作 (即样本i的识别为分类k的分数)， 应该写做 ， 应该写成 。。。
其中，I(x)表示Indicator function，也有写做1(x)的。softmax之所以令人喜欢就在于它所导致的梯度是如此简洁优雅（其根源又在于指数函数的魔力）。下面通过一个简单的例子来增进直观的理解。假设针对样本 通过计算得到 p = [0.2, 0.3, 0.5] , 并且假定正确的分类是k=1(中间那个，其概率为0.3)。根据以上梯度公式可以得到（这里为简洁起见，以df表示梯度向量 ） df = [0.2, -0.7, 0.5]。由于正确的分类是k=1，因此如果增大p[0]或者p[2]，应该会导致loss变大，df[0]和df[2]大于0正好与此相符， 同理如果增大p[1]则应该会导致loss变小，这对应着df[1]=-0.7<0。
有了 后，就可以进一步基于反向传播、链式法则，求得loss关于W、b的梯度。以下仅给出loss对于某个权重参数 的偏微分作为示例（由此扩充至 以及 是一个顺理成章水到渠成的过程）：
以 , 分别代表整个数据集的 scores = np.dot(X, W) + b 和概率矩阵，则基于以上推导经过一些矩阵微积分（matrix calculus）运算可以得到：
同理可以得到总体损失关于向量b的梯度（但是其表达式稍微有点难写）。
由此可以得到以下梯度计算的实现代码。注意梯度计算的实现代码中的对应关系：probs– ; dscores– （加转置是为了维度匹配），dW和db分别表示loss关于W和b的梯度（最后还加上正则化损失部分的梯度）：
dscores = probs dscores[range(num_examples),y] -= 1 dscores /= num_examples dW = np.dot(X.T, dscores) db = np.sum(dscores, axis=0, keepdims=True) dW += reg*W # don't forget the regularization gradient
注意正则化梯度（ regularization gradient）的形式非常简单 reg*W ，这是因为，正如前面我们提到过，正则化损失中有个1/2的因子恰好被平方项的导数产生的因子2抵消了.
3.6 参数更新
有了梯度 和 和另一个超参数 (step_size)，参数的更新就直截了当了：
3.7 组装到一起进行训练
3.7.1 处理框图
将以上所有要素组装到一起，就得到了一个Softmax分类器，处理框图示意如下：
由以上框图可以看出， loss函数本身其实只是用于训练进度状况监测用的。训练（学习）本身并不要求显式地计算loss，而是跳过loss直接计算梯度了。
3.7.2 代码
基本上是原课件代码（网页内嵌代码以及minimal_net.ipynb），稍微有一些调整和修改（比如说python2–>python3的相关修改）、注释，在JupyterNotebook中运行验证过。
# A bit of setup
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
plt.rcParams['figure.figsize'] = (10.0, 8.0) # set default size of plots
plt.rcParams['image.interpolation'] = 'nearest'
plt.rcParams['image.cmap'] = 'gray'
# for auto-reloading extenrnal modules
# see http://stackoverflow.com/questions/1907993/autoreload-of-modules-in-ipython
%load_ext autoreload
%autoreload 2
# 2.数据生成
M = 100 # number of points per class。原示例中用N，容易混淆。通常用N表示数据集总的样本数。
D = 2 # dimensionality
K = 3 # number of classes
N = M*K # 总样本数
X = np.zeros((N,D)) # data matrix (each row = single example)
y = np.zeros(N, dtype='uint8') # class labels
for j in range(K):
ix = range(M*j,M*(j+1))
r = np.linspace(0.0,1,M) # radius
t = np.linspace(j*4,(j+1)*4,M) + np.random.randn(M)*0.2 # theta
X[ix] = np.c_[r*np.sin(t), r*np.cos(t)]
y[ix] = j
# lets visualize the data:
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, s=40, cmap=plt.cm.Spectral)
plt.show()
# 3.0 some hyperparameters
step_size = 1e-0
reg = 1e-3 # regularization strength
# 3.1 initialize parameters randomly
W = 0.01 * np.random.randn(D,K)
b = np.zeros((1,K))
# gradient descent loop
num_examples = X.shape[0]
for i in range(200): # Each iteration corresponding to one epoch.
# 3.2 evaluate class scores, [N x K]
scores = np.dot(X, W) + b
# 3.3 compute the class probabilities
exp_scores = np.exp(scores)
probs = exp_scores / np.sum(exp_scores, axis=1, keepdims=True) # [N x K]
# 3.4 compute the loss: average cross-entropy loss and regularization
correct_logprobs = -np.log(probs[range(num_examples),y])
data_loss = np.sum(correct_logprobs)/num_examples
reg_loss = 0.5*reg*np.sum(W*W)
loss = data_loss + reg_loss
if i % 10 == 0:
print("iteration %d: loss %f" % (i, loss))
# 3.5 compute the gradient on scores
dscores = probs
dscores[range(num_examples),y] -= 1
dscores /= num_examples
# backpropate the gradient to the parameters (W,b)
dW = np.dot(X.T, dscores)
db = np.sum(dscores, axis=0, keepdims=True)
dW += reg*W # regularization gradient
# perform a parameter update
W += -step_size * dW
b += -step_size * db
# evaluate training set accuracy
scores = np.dot(X, W) + b
predicted_class = np.argmax(scores, axis=1)
print ('training accuracy: %.2f' % (np.mean(predicted_class == y)))
运行结果如下：
。。。
iteration 170: loss 0.785329 iteration 180: loss 0.785282 iteration 190: loss 0.785249
training accuracy: 0.52
50%的准确度当然不能说好，但是考虑到数据集本来是非线性可分的，现在强行用一个线性分类器来分类，结果不好也是意料之内的事情。为了更直观地看到训练效果，用以下代码将所训练好的分类器的分类边界画出来，如下所示：
# plot the resulting classifier
h = 0.02
x_min, x_max = X[:, 0].min() - 1, X[:, 0].max() + 1
y_min, y_max = X[:, 1].min() - 1, X[:, 1].max() + 1
xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, h),
np.arange(y_min, y_max, h))
Z = np.dot(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()], W) + b
Z = np.argmax(Z, axis=1)
Z = Z.reshape(xx.shape)
fig = plt.figure()
plt.contourf(xx, yy, Z, cmap=plt.cm.Spectral, alpha=0.8)
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, s=40, cmap=plt.cm.Spectral)
plt.xlim(xx.min(), xx.max())
plt.ylim(yy.min(), yy.max())
#fig.savefig('spiral_linear.png')
如上图所示，分类判决边界为直线，这正是线性分类器的特征。
下一节我们来针对以上模型追加一级隐藏层，使其从浅层（线性）网络变成深层（非线性） 网络，见识一下由于非线性带来的深度神经网络的威力。
4. 训练一个神经网络
未完待续
参考文献：
[1] https://machinelearningmastery.com/cross-entropy-for-machine-learning
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