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哈工大2022机器学习实验一:曲线拟合

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这个实验的要求写的还是挺清楚的(与上学期相比),本博客采用python实现,科学计算库采用 numpy ,作图采用 matplotlib.pyplot ,为了简便在文件开头import如下:

 

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

 

本实验用到的numpy函数

 

一般把 numpy 简写为 np (import numpy as np)。下面简单介绍一下实验中用到的numpy函数。下面的代码均需要在最前面加上 import numpy as np

 

np.array

 

该函数返回一个 numpy.ndarray 对象,可以理解为一个多维数组(本实验中仅会用到一维(可以当作列向量)和二维(矩阵))。下面用小写的 x \pmb x 表示列向量,大写的 A A A 表示矩阵。 A.T 表示 A A A 的转置。对 ndarray 的运算一般都是逐元素的。

 

>>> x = np.array([1,2,3])
>>> x
array([1, 2, 3])
>>> A = np.array([[2,3,4],[5,6,7]])
>>> A
array([[2, 3, 4],
       [5, 6, 7]])
>>> A.T # 转置
array([[2, 5],
       [3, 6],
       [4, 7]])
>>> A + 1
array([[3, 4, 5],
       [6, 7, 8]])
>>> A * 2
array([[ 4,  6,  8],
       [10, 12, 14]])

 

np.random

 

np.random 模块中包含几个生成随机数的函数。在本实验中用随机初始化参数(梯度下降法),给数据添加噪声。

 

>>> np.random.rand(3, 3) # 生成3 * 3 随机矩阵,每个元素服从[0,1)均匀分布
array([[8.18713933e-01, 5.46592778e-01, 1.36380542e-01],
       [9.85514865e-01, 7.07323389e-01, 2.51858374e-04],
       [3.14683662e-01, 4.74980699e-02, 4.39658301e-01]])
      
>>> np.random.rand(1) # 生成单个随机数
array([0.70944563])
>>> np.random.rand(5) # 长为5的一维随机数组
array([0.03911319, 0.67572368, 0.98884287, 0.12501456, 0.39870096])
>>> np.random.randn(3, 3) # 同上,但每个元素服从N(0, 1)(标准正态)

 

数学函数

 

本实验中只用到了 np.sin 。这些数学函数是对 np.ndarray 逐元素操作的:

 

>>> x = np.array([0, 3.1415, 3.1415 / 2]) # 0, pi, pi / 2
>>> np.round(np.sin(x)) # 先求sin再四舍五入: 0, 0, 1
array([0., 0., 1.])

 

此外,还有 np.lognp.exp 等与python的 math 库相似的函数(只不过是对多维数组进行逐元素运算)。

 

返回两个矩阵的乘积。与线性代数中的矩阵乘法一致。要求第一个矩阵的列等于第二个矩阵的行数。特殊地,当其中一个为一维数组时,形状会自动适配为 n × 1 n\times1 1 或 1 × n . 1\times n. n .

 

>>> x = np.array([1,2,3]) # 一维数组
>>> A = np.array([[1,1,1],[2,2,2],[3,3,3]]) # 3 * 3矩阵
>>> np.dot(x,A)
array([14, 14, 14])
>>> np.dot(A,x)
array([ 6, 12, 18])
>>> x_2D = np.array([[1,2,3]]) # 这是一个二维数组(1 * 3矩阵)
>>> np.dot(x_2D, A) # 可以运算
array([[14, 14, 14]])
>>> np.dot(A, x_2D) # 行列不匹配
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
  File "<__array_function__ internals>", line 5, in dot
ValueError: shapes (3,3) and (1,3) not aligned: 3 (dim 1) != 1 (dim 0)

 

np.eye(n) 返回一个n阶单位阵。

 

>>> A = np.eye(3)
>>> A
array([[1., 0., 0.],
       [0., 1., 0.],
       [0., 0., 1.]])

 

线性代数相关

 

np.linalg 是与线性代数有关的库。

 

>>> A
array([[1, 0, 0],
       [0, 2, 0],
       [0, 0, 3]])
>>> np.linalg.inv(A) # 求逆(本实验不考虑逆不存在)
array([[1.        , 0.        , 0.        ],
       [0.        , 0.5       , 0.        ],
       [0.        , 0.        , 0.33333333]])
>>> x = np.array([1,2,3])
>>> np.linalg.norm(x) # 返回向量x的模长(平方求和开根号)
3.7416573867739413
>>> np.linalg.eigvals(A) # A的特征值
array([1., 2., 3.])

 

生成数据

 

生成数据要求加入噪声(误差)。上课讲的时候举的例子就是正弦函数,我们这里也采用标准的正弦函数 y = sin ⁡ x . y=\sin x. sin x . (加入噪声后即为 y = sin ⁡ x + ϵ , y=\sin x+\epsilon, sin x + ϵ , 其中 ϵ ∼ N ( 0 , σ 2 ) \epsilon\sim N(0, \sigma^2) N ( 0 , σ 2 ) ,由于 sin ⁡ x \sin x sin x 的最大值为 1 1 1 ,我们把误差的方差设小一点,这里设成 1 25 \frac{1}{25} )。

 

'''
返回数据集,形如[[x_1, y_1], [x_2, y_2], ..., [x_N, y_N]]
保证 bound[0] <= x_i < bound[1].
- N 数据集大小, 默认为 100
- bound 产生数据横坐标的上下界, 应满足 bound[0] < bound[1], 默认为(0, 10)
'''
def get_dataset(N = 100, bound = (0, 10)):
    l, r = bound
    # np.random.rand 产生[0, 1)的均匀分布,再根据l, r缩放平移
    # 这里sort是为了画图时不会乱,可以去掉sorted试一试
    x = sorted(np.random.rand(N) * (r - l) + l)
# np.random.randn 产生N(0,1),除以5会变为N(0, 1 / 25)
    y = np.sin(x) + np.random.randn(N) / 5
    return np.array([x,y]).T

 

产生的数据集每行为一个平面上的点。产生的数据看起来像这样:

 

隐隐约约能看出来是个正弦函数的形状。产生上面图像的代码如下:

 

dataset = get_dataset(bound = (-3, 3))
# 绘制数据集散点图
for [x, y] in dataset:
    plt.scatter(x, y, color = 'red')
plt.show()

 

最小二乘法拟合

 

下面我们分别用四种方法(最小二乘,正则项/岭回归,梯度下降法,共轭梯度法)以用多项式拟合上述干扰过的正弦曲线。

 

解析解推导

 

简单回忆一下最小二乘法的原理:现在我们想用一个 m m m 次多项式

 

f ( x ) = w 0 + w 1 x + w 2 x 2 + . . . + w m x m f(x)=w_0+w_1x+w_2x^2+…+w_mx^m f ( x ) = w 1 ​ x + w 2 ​ x 2 + w m ​ x m

 

来近似真实函数 y = sin ⁡ x . y=\sin x. sin x . 我们的目标是最小化数据集 ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , . . . , ( x N , y N ) (x_1,y_1),(x_2,y_2),…,(x_N,y_N) ( x 1 ​ , y 1 ​ ) , ( x 2 ​ , y 2 ​ ) , … , ( x N ​ , y N ​ ) 上的损失 L L L (loss),这里损失函数采用平方误差:

 

L = ∑ i = 1 N [ y i − f ( x i ) ] 2 L=\sum\limits_{i=1}^N[y_i-f(x_i)]^2 i = 1 ∑ N ​ [ y i ​ − f ( x i ​ ) ] 2

 

为了求得使均方误差最小(因此最贴合目标曲线)的参数 w 0 , w 1 , . . . , w m , w_0,w_1,…,w_m, w 0 ​ , w 1 ​ , … , w m ​ , 我们需要分别求损失 L L L 关于 w 0 , w 1 , . . . , w m w_0,w_1,…,w_m w 0 ​ , w 1 ​ , … , w m ​ 的导数。为了方便,我们采用线性代数的记法:

 

X = ( 1 x 1 x 1 2 ⋯ x 1 m 1 x 2 x 2 2 ⋯ x 2 m ⋮ ⋮ 1 x N x N 2 ⋯ x N m ) N × ( m + 1 ) , Y = ( y 1 y 2 ⋮ y N ) N × 1 , W = ( w 0 w 1 ⋮ w m ) ( m + 1 ) × 1 . X=\begin{pmatrix}1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^m\\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^m\\ \vdots & & & &\vdots\\ 1 & x_N & x_N^2 & \cdots & x_N^m\\\end{pmatrix}_{N\times(m+1)},Y=\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\y_N\end{pmatrix}_{N\times1},W=\begin{pmatrix}w_0 \\ w_1 \\ \vdots \\w_m\end{pmatrix}_{(m+1)\times1}. ⎝ ⎛ ​ 1 1 ⋮ 1 ​ x 1 ​ x 2 ​ x N ​ ​ x 1 2 ​ x 2 2 ​ x N 2 ​ ​ ⋯ ⋯ ⋯ ​ x 1 m ​ x 2 m ​ ⋮ x N m ​ ​ ⎠ ⎞ ​ N × ( m + 1 ) ​ , Y = ⎝ ⎛ ​ y 1 ​ y 2 ​ ⋮ y N ​ ​ ⎠ ⎞ ​ N × 1 ​ , W = ⎝ ⎛ ​ w 0 ​ w 1 ​ ⋮ w m ​ ​ ⎠ ⎞ ​ ( m + 1 ) × 1 ​ .

 

在这种表示方法下,有

 

( f ( x 1 ) f ( x 2 ) ⋮ f ( x N ) ) = X W . \begin{pmatrix}f(x_1)\\ f(x_2) \\ \vdots \\ f(x_N)\end{pmatrix}= XW. ⎝ ⎛ ​ f ( x 1 ​ ) f ( x 2 ​ ) ⋮ f ( x N ​ ) ​ ⎠ ⎞ ​ = X W .

 

如果有疑问可以自己拿矩阵乘法验证一下。继续,误差项之和可以表示为

 

( f ( x 1 ) − y 1 f ( x 2 ) − y 2 ⋮ f ( x N ) − y N ) = X W − Y . \begin{pmatrix}f(x_1)-y_1 \\ f(x_2)-y_2 \\ \vdots \\ f(x_N)-y_N\end{pmatrix}=XW-Y. ⎝ ⎛ ​ f ( x 1 ​ ) − y 1 ​ f ( x 2 ​ ) − y 2 ​ ⋮ f ( x N ​ ) − y N ​ ​ ⎠ ⎞ ​ = X W − Y .

 

因此,损失函数

 

L = ( X W − Y ) T ( X W − Y ) . L=(XW-Y)^T(XW-Y). ( X W − Y ) T ( X W − Y ) .

 

(为了求得向量 x = ( x 1 , x 2 , . . . , x N ) T \pmb x=(x_1,x_2,…,x_N)^T ( x 1 ​ , x 2 ​ , … , x N ​ ) T 各分量的平方和,可以对 x \pmb x 作内积,即 x T x . \pmb x^T \pmb x. T . )

 

为了求得使 L L L 最小的 W W W (这个 W W W 是一个列向量),我们需要对 L L L 求偏导数,并令其为 0 : 0: 0 :

 

∂ L ∂ W = ∂ ∂ W [ ( X W − Y ) T ( X W − Y ) ] = ∂ ∂ W [ ( W T X T − Y T ) ( X W − Y ) ] = ∂ ∂ W ( W T X T X W − W T X T Y − Y T X W + Y T Y ) = ∂ ∂ W ( W T X T X W − 2 Y T X W + Y T Y ) ( 容易验证 , W T X T Y = Y T X W , 因而可以将其合并 ) = 2 X T X W − 2 X T Y \begin{aligned}\frac{\partial L}{\partial W}&=\frac{\partial}{\partial W}[(XW-Y)^T(XW-Y)]\\ &=\frac{\partial}{\partial W}[(W^TX^T-Y^T)(XW-Y)] \\ &=\frac{\partial}{\partial W}(W^TX^TXW-W^TX^TY-Y^TXW+Y^TY)\\ &=\frac{\partial}{\partial W}(W^TX^TXW-2Y^TXW+Y^TY)(容易验证,W^TX^TY=Y^TXW,因而可以将其合并)\\ &=2X^TXW-2X^TY\end{aligned} ​ = [( X W − Y ) T ( X W − Y )] = [( W T X T − Y T ) ( X W − Y )] = ( W T X T X W − W T X T Y − Y T X W + Y T Y ) = ( W T X T X W − 2 Y T X W + Y T Y ) ( 容易验证 , W T X T Y = Y T X W , 因而可以将其合并 ) = 2 X T X W − 2 X T Y ​

 

说明:

 

(1)从第3行到第4行,由于 W T X T Y W^TX^TY W T X T Y 和 Y T X W Y^TXW Y T X W 都是数(或者说 1 × 1 1\times1 1 矩阵),二者互为转置,因此值相同,可以合并成一项。

 

(2)从第4行到第5行的矩阵求导,第一项 ∂ ∂ W ( W T ( X T X ) W ) \frac{\partial}{\partial W}(W^T(X^TX)W) ( W T ( X T X ) W ) 是一个关于 W W W 的二次型,其导数就是 2 X T X W . 2X^TXW. 2 X T X W .

(3)对于一次项
− 2 Y T X W -2Y^TXW − 2 Y T X W 的求导,如果按照实数域的求导应该得到
− 2 Y T X . -2Y^TX. − 2 Y T X .

但检查一下发现矩阵的型对不上,需要做一下转置,变为

 

− 2 X T Y . -2X^TY. − 2 X T Y .

 

矩阵求导线性代数课上也没有系统教过,只对这里出现的做一下说明。(

多了我也不会

 

令偏导数为0,得到

 

X T X W = Y T X , X^TXW=Y^TX, X T X W = Y T X ,

 

左乘 ( X T X ) − 1 (X^TX)^{-1} ( X T X ) − 1 ( X T X X^TX X T X 的可逆性见下方的补充说明),得到

 

W = ( X T X ) − 1 X T Y . W=(X^TX)^{-1}X^TY. ( X T X ) − 1 X T Y .

 

这就是我们想求的

 

W W W

 

的解析解,我们只需要调用函数算出这个值即可。

 

'''
最小二乘求出解析解, m 为多项式次数
最小二乘误差为 (XW - Y)^T*(XW - Y)
- dataset 数据集
- m 多项式次数, 默认为 5
'''
def fit(dataset, m = 5):
    X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(m + 1)]).T
    Y = dataset[:, 1]
    return np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(X.T, X)), X.T), Y)

 

稍微解释一下代码:第一行即生成上面约定的 X X X 矩阵, dataset[:,0] 即数据集第0列 ( x 1 , x 2 , . . . , x N ) T (x_1,x_2,…,x_N)^T ( x 1 ​ , x 2 ​ , … , x N ​ ) T ;第二行即 Y Y Y 矩阵;第三行返回上面的解析解。(如果不熟悉python语法或者 numpy 库还是挺不友好的)

 

简单地验证一下我们已经完成的函数的结果:为此,我们先写一个 draw 函数,用于把求得的 W W W 对应的多项式 f ( x ) f(x) f ( x ) 画到 pyplot 库的图像上去:

 

'''
绘制给定系数W的, 在数据集上的多项式函数图像
- dataset 数据集
- w 通过上面四种方法求得的系数
- color 绘制颜色, 默认为 red
- label 图像的标签
'''
def draw(dataset, w, color = 'red', label = ''):
    X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(len(w))]).T
    Y = np.dot(X, w)
    
    plt.plot(dataset[:, 0], Y, c = color, label = label)

 

然后是主函数:

 

if __name__ == '__main__':
    dataset = get_dataset(bound = (-3, 3))
    # 绘制数据集散点图
    for [x, y] in dataset:
        plt.scatter(x, y, color = 'red')
    # 最小二乘
    coef1 = fit(dataset)
    draw(dataset, coef1, color = 'black', label = 'OLS')
    
# 绘制图像
    plt.legend()
    plt.show()

 

可以看到5次多项式拟合的效果还是比较不错的(数据集每次随机生成,所以跟第一幅图不一样)。

 

截至这部分全部的代码,后面同名函数不再给出说明:

 

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
'''
返回数据集,形如[[x_1, y_1], [x_2, y_2], ..., [x_N, y_N]]
保证 bound[0] <= x_i < bound[1].
- N 数据集大小, 默认为 100
- bound 产生数据横坐标的上下界, 应满足 bound[0] < bound[1]
'''
def get_dataset(N = 100, bound = (0, 10)):
    l, r = bound
    x = sorted(np.random.rand(N) * (r - l) + l)
    y = np.sin(x) + np.random.randn(N) / 5
    return np.array([x,y]).T
'''
最小二乘求出解析解, m 为多项式次数
最小二乘误差为 (XW - Y)^T*(XW - Y)
- dataset 数据集
- m 多项式次数, 默认为 5
'''
def fit(dataset, m = 5):
    X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(m + 1)]).T
    Y = dataset[:, 1]
    return np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(X.T, X)), X.T), Y)
'''
绘制给定系数W的, 在数据集上的多项式函数图像
- dataset 数据集
- w 通过上面四种方法求得的系数
- color 绘制颜色, 默认为 red
- label 图像的标签
'''
def draw(dataset, w, color = 'red', label = ''):
    X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(len(w))]).T
    Y = np.dot(X, w)
    
    plt.plot(dataset[:, 0], Y, c = color, label = label)
if __name__ == '__main__':
    dataset = get_dataset(bound = (-3, 3))
    # 绘制数据集散点图
    for [x, y] in dataset:
        plt.scatter(x, y, color = 'red')
    
    coef1 = fit(dataset)
    draw(dataset, coef1, color = 'black', label = 'OLS')
    plt.legend()
    plt.show()

 

补充说明

 

上面有一块不太严谨:对于一个矩阵 X X X 而言, X T X X^TX X T X 不一定可逆。然而在本实验中,可以证明其为可逆矩阵。由于这门课不是线性代数课,我们就不费太多篇幅介绍这个了,仅作简单提示:

 

(1) X X X 是一个 N × ( m + 1 ) N\times(m+1) ( m + 1 ) 的矩阵。其中数据数 N N N 远大于多项式次数 m m m ,有 N > m + 1 ; N>m+1;

 

(2)为了说明 X T X X^TX X T X 可逆,需要说明 ( X T X ) ( m + 1 ) × ( m + 1 ) (X^TX)_{(m+1)\times(m+1)} ( X T X ) ( m + 1 ) × ( m + 1 ) ​ 满秩,即 R ( X T X ) = m + 1 ; R(X^TX)=m+1; R ( X T X ) = 1 ;

 

(3)在线性代数中,我们证明过 R ( X ) = R ( X T ) = R ( X T X ) = R ( X X T ) ; R(X)=R(X^T)=R(X^TX)=R(XX^T); R ( X ) = R ( X T ) = R ( X T X ) = R ( X X T ) ;

(4)
X X X 是一个
范德蒙矩阵

,由其性质可知其秩等于

 

m i n { N , m + 1 } = m + 1. min\{N,m+1\}=m+1. min { N , m + 1 } = 1.

 

添加正则项(岭回归)

 

最小二乘法容易造成过拟合。为了说明这种缺陷,我们用所生成数据集的前50个点进行训练(这样抽样不够均匀,这里只是为了说明过拟合),得出参数,再画出整个函数图像,查看拟合效果:

 

if __name__ == '__main__':
    dataset = get_dataset(bound = (-3, 3))
    # 绘制数据集散点图
    for [x, y] in dataset:
        plt.scatter(x, y, color = 'red')
    # 取前50个点进行训练
    coef1 = fit(dataset[:50], m = 3)
    # 再画出整个数据集上的图像
    draw(dataset, coef1, color = 'black', label = 'OLS')

 

过拟合在 m m m 较大时尤为严重(上面图像为 m = 3 m=3 3 时)。当多项式次数升高时,为了尽可能贴近所给数据集,计算出来的系数的数量级将会越来越大,在未见样本上的表现也就越差。如上图,可以看到拟合在前50个点(大约在横坐标 [ − 3 , 0 ] [-3,0] [ − 3 , 0 ] 处)表现很好;而在测试集上表现就很差( [ 0 , 3 ] [0,3] [ 0 , 3 ] 处)。为了防止过拟合,可以引入正则化项。此时损失函数 L L L 变为

 

L = ( X W − Y ) T ( X W − Y ) + λ ∣ ∣ W ∣ ∣ 2 2 L=(XW-Y)^T(XW-Y)+\lambda||W||_2^2 ( X W − Y ) T ( X W − Y ) + λ ∣∣ W ∣ ∣ 2 2 ​

其中
∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ 2 2 ||\cdot||_2^2 ∣ ∣ 2 2 ​ 表示
L 2 L_2 L 2 ​ 范数的平方,在这里即
W T W ; λ W^TW;\lambda W T W ; λ 为正则化系数。该式子也称岭回归(Ridge Regression)。它的思想是兼顾损失函数与所得参数
W W W 的模长(在
L 2 L_2 L 2 ​

范数时),防止

 

W W W

 

内的参数过大。

 

举个例子(数是随便编的):当正则化系数为 1 1 1 ,若方案1在数据集上的平方误差为 0.5 , 0.5, 0.5 , 此时 W = ( 100 , − 200 , 300 , 150 ) T W=(100,-200,300,150)^T ( 100 , − 200 , 300 , 150 ) T ;方案2在数据集上的平方误差为 10 , 10, 10 , 此时 W = ( 1 , − 3 , 2 , 1 ) W=(1,-3,2,1) ( 1 , − 3 , 2 , 1 ) ,那我们选择方案2的 W . W. W . 正则化系数 λ \lambda λ 刻画了这种对于 W W W 模长的重视程度: λ \lambda λ 越大,说明 W W W 的模长升高带来的惩罚也就越大。当 λ = 0 , \lambda=0, 0 , 岭回归即变为普通的最小二乘法。与岭回归相似的还有LASSO,就是将正则化项换为 L 1 L_1 L 1 ​ 范数。

 

重复上面的推导,我们可以得出解析解为

 

W = ( X T X + λ E m + 1 ) − 1 X T Y . W=(X^TX+\lambda E_{m+1})^{-1}X^TY. ( X T X + λ E m + 1 ​ ) − 1 X T Y .

其中
E m + 1 E_{m+1} E m + 1 ​ 为
m + 1 m+1 1

阶单位阵。容易得到

 

( X T X + λ E m + 1 ) (X^TX+\lambda E_{m+1}) ( X T X + λ E m + 1 ​ )

 

也是可逆的。

 

该部分代码如下。

 

'''
岭回归求解析解, m 为多项式次数, l 为 lambda 即正则项系数
岭回归误差为 (XW - Y)^T*(XW - Y) + λ(W^T)*W
- dataset 数据集
- m 多项式次数, 默认为 5
- l 正则化参数 lambda, 默认为 0.5
'''
def ridge_regression(dataset, m = 5, l = 0.5):
    X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(m + 1)]).T
    Y = dataset[:, 1]
    return np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(X.T, X) + l * np.eye(m + 1)), X.T), Y)

 

两种方法的对比如下:

 

对比可以看出,岭回归显着减轻了过拟合(此时为

 

m = 3 , λ = 0.3 m=3,\lambda=0.3 3 , λ = 0.3

 

)。

 

梯度下降法

 

梯度下降法并不是求解该问题的最好方法,很容易就无法收敛。先简单介绍梯度下降法的基本思想:若我们想求取复杂函数 f ( x ) f(x) f ( x ) 的最小值(最值点)(这个 x x x 可能是向量等),即

 

x m i n = arg min ⁡ x f ( x ) x_{min}=\argmin_{x}f(x) x arg min ​ f ( x )

 

梯度下降法重复如下操作:

 

(0)(随机)初始化 x 0 ( t = 0 ) x_0(t=0) x 0 ​ ( t = 0 ) ;

 

(1)设 f ( x ) f(x) f ( x ) 在 x t x_t x t ​ 处的梯度(当 x x x 为一维时,即导数) ∇ f ( x t )
abla f(x_t) ∇ f ( x t ​ ) ;

 

(2) x t + 1 = x t − η ∇ f ( x t ) x_{t+1}=x_t-\eta
abla f(x_t) η ∇ f ( x t ​ )

(3)若
x t + 1 x_{t+1} x t + 1 ​

 

x t x_t x t ​

 

相差不大(达到预先设定的范围)或迭代次数达到预设上限,停止算法;否则重复(1)(2).

 

其中 η \eta η 为学习率,它决定了梯度下降的步长。

 

下面是一个用梯度下降法求取

 

y = x 2 y=x^2 x 2

 

的最小值点的示例程序:

 

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def f(x):
    return x ** 2
def draw():
    x = np.linspace(-3, 3)
    y = f(x)
    plt.plot(x, y, c = 'red')
cnt = 0
# 初始化 x
x = np.random.rand(1) * 3
learning_rate = 0.05
while True:
    grad = 2 * x
    # -----------作图用,非算法部分-----------
    plt.scatter(x, f(x), c = 'black')
    plt.text(x + 0.3, f(x) + 0.3, str(cnt))
    # -------------------------------------
    new_x = x - grad * learning_rate
    # 判断收敛
    if abs(new_x - x) < 1e-3:
        break
    x = new_x
    cnt += 1
draw()
plt.show()

 

上图标明了 x x x 随着迭代的演进,可以看到 x x x 不断沿着正半轴向零点靠近。需要注意的是,学习率不能过大(虽然在上面的程序中,学习率设置得有点小了),需要手动进行尝试调整,否则容易想象, x x x 在正负半轴来回震荡,难以收敛。

 

在最小二乘法中,我们需要优化的函数是损失函数

 

L = ( X W − Y ) T ( X W − Y ) . L=(XW-Y)^T(XW-Y). ( X W − Y ) T ( X W − Y ) .

 

下面我们用梯度下降法求解该问题。在上面的推导中,

 

∂ L ∂ W = 2 X T X W − 2 X T Y , \begin{aligned}\frac{\partial L}{\partial W}=2X^TXW-2X^TY\end{aligned}, = 2 X T X W − 2 X T Y ​ ,

于是我们每次在迭代中对
W W W 减去该梯度,直到参数
W W W

收敛。不过经过实验,平方误差会使得梯度过大,过程无法收敛,因此采用均方误差(MSE)替换之,就是给原来的式子除以

 

N N N

 

:

 

'''
梯度下降法(Gradient Descent, GD)求优化解, m 为多项式次数, max_iteration 为最大迭代次数, lr 为学习率
注: 此时拟合次数不宜太高(m <= 3), 且数据集的数据范围不能太大(这里设置为(-3, 3)), 否则很难收敛
- dataset 数据集
- m 多项式次数, 默认为 3(太高会溢出, 无法收敛)
- max_iteration 最大迭代次数, 默认为 1000
- lr 梯度下降的学习率, 默认为 0.01
'''
def GD(dataset, m = 3, max_iteration = 1000, lr = 0.01):
    # 初始化参数
    w = np.random.rand(m + 1)
    N = len(dataset)
    X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(len(w))]).T
    Y = dataset[:, 1]
    try:
        for i in range(max_iteration):
            pred_Y = np.dot(X, w)
            # 均方误差(省略系数2)
            grad = np.dot(X.T, pred_Y - Y) / N
            w -= lr * grad
    '''
    为了能捕获这个溢出的 Warning,需要import warnings并在主程序中加上:
    warnings.simplefilter('error')
    '''
    except RuntimeWarning:
        print('梯度下降法溢出, 无法收敛')
    return w

 

这时如果 m m m 设置得稍微大一点(比如4),在迭代过程中梯度就会溢出,使参数无法收敛。在收敛时,拟合效果还算可以:

 

共轭梯度法

 

共轭梯度法(Conjugate Gradients)可以用来求解形如 A x = b A\pmb x=\pmb b 的方程组,或最小化二次型 f ( x ) = 1 2 x T A x − b T x + c . f(\pmb x)=\frac12\pmb x^TA\pmb x-\pmb b^T \pmb x+c. f ( ) = T A − c . (可以证明对于正定的 A A A ,二者等价)其中 A A A 为 正定 矩阵。在本问题中,我们要求解 X T X W = Y T X , X^TXW=Y^TX, X T X W = Y T X ,

 

就有 A ( m + 1 ) × ( m + 1 ) = X T X , b = Y T . A_{(m+1)\times(m+1)}=X^TX,\pmb b=Y^T. A ( m + 1 ) × ( m + 1 ) ​ = X T X , = Y T . 若我们想加一个正则项,就变成求解

 

( X T X + λ E ) W = Y T X . (X^TX+\lambda E)W=Y^TX. ( X T X + λ E ) W = Y T X .

 

首先说明一点: X T X X^TX X T X 不一定是正定的但一定是半正定的(证明 见此 )。但是在实验中我们基本不用担心这个问题,因为 X T X X^TX X T X 有极大可能是正定的,我们只在代码中加一个断言(assert),不多关注这个条件。

 

共轭梯度法的思想来龙去脉和证明过程比较长,可以参考这个系列,这里只给出算法步骤(在上面链接的第三篇开头):

 

(0)初始化 x ( 0 ) ; x_{(0)}; x ( 0 ) ​ ;

 

(1)初始化 d ( 0 ) = r ( 0 ) = b − A x ( 0 ) ; d_{(0)}=r_{(0)}=b-Ax_{(0)}; A x ( 0 ) ​ ;

 

(2)令 α ( i ) = r ( i ) T r ( i ) d ( i ) T A d ( i ) ; \alpha_{(i)}=\frac{r_{(i)}^Tr_{(i)}}{d_{(i)}^TAd_{(i)}}; d ( i ) T ​ A d ( i ) ​ r ( i ) T ​ r ( i ) ​ ​ ;

 

(3)迭代 x ( i + 1 ) = x ( i ) + α ( i ) d ( i ) ; x_{(i+1)}=x_{(i)}+\alpha_{(i)}d_{(i)}; x ( i + 1 ) ​ = α ( i ) ​ d ( i ) ​ ;

 

(4)令 r ( i + 1 ) = r ( i ) − α ( i ) A d ( i ) ; r_{(i+1)}=r_{(i)}-\alpha_{(i)}Ad_{(i)}; r ( i + 1 ) ​ = α ( i ) ​ A d ( i ) ​ ;

 

(5)令 β ( i + 1 ) = r ( i + 1 ) T r ( i + 1 ) r ( i ) T r ( i ) , d ( i + 1 ) = r ( i + 1 ) + β ( i + 1 ) d ( i ) . \beta_{(i+1)}=\frac{r_{(i+1)}^Tr_{(i+1)}}{r_{(i)}^Tr_{(i)}},d_{(i+1)}=r_{(i+1)}+\beta_{(i+1)}d_{(i)}. β ( i + 1 ) ​ = r ( i ) T ​ r ( i ) ​ r ( i + 1 ) T ​ r ( i + 1 ) ​ ​ , d ( i + 1 ) ​ = r ( i + 1 ) ​ + β ( i + 1 ) ​ d ( i ) ​ .

 

(6)当 ∣ ∣ r ( i ) ∣ ∣ ∣ ∣ r ( 0 ) ∣ ∣ < ϵ \frac{||r_{(i)}||}{||r_{(0)}||}<\epsilon ∣∣ r ( 0 ) ​ ∣∣ ∣∣ r ( i ) ​ ∣∣ ​ < ϵ 时,停止算法;否则继续从(2)开始迭代。 ϵ \epsilon ϵ 为预先设定好的很小的值,我这里取的是 1 0 − 5 . 10^{-5}. 1 0 − 5 .

 

下面我们按照这个过程实现代码:

 

'''
共轭梯度法(Conjugate Gradients, CG)求优化解, m 为多项式次数
- dataset 数据集
- m 多项式次数, 默认为 5
- regularize 正则化参数, 若为 0 则不进行正则化
'''
def CG(dataset, m = 5, regularize = 0):
    X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(m + 1)]).T
    A = np.dot(X.T, X) + regularize * np.eye(m + 1)
    assert np.all(np.linalg.eigvals(A) > 0), '矩阵不满足正定!'
    b = np.dot(X.T, dataset[:, 1])
    w = np.random.rand(m + 1)
    epsilon = 1e-5
    # 初始化参数
    d = r = b - np.dot(A, w)
    r0 = r
    while True:
        alpha = np.dot(r.T, r) / np.dot(np.dot(d, A), d)
        w += alpha * d
        new_r = r - alpha * np.dot(A, d)
        beta = np.dot(new_r.T, new_r) / np.dot(r.T, r)
        d = beta * d + new_r
        r = new_r
        # 基本收敛,停止迭代
        if np.linalg.norm(r) / np.linalg.norm(r0) < epsilon:
            break
    return w

 

相比于朴素的梯度下降法,共轭梯度法收敛迅速且稳定。不过在多项式次数增加时拟合效果会变差:在 m = 7 m=7 7 时,其与最小二乘法对比如下:

 

此时,仍然可以通过正则项部分缓解(图为 m = 7 , λ = 1 m=7,\lambda=1 7 , λ = 1 ):

 

最后附上四种方法的拟合图像(基本都一样)和主函数,可以根据实验要求调整参数:

 

if __name__ == '__main__':
    warnings.simplefilter('error')
    dataset = get_dataset(bound = (-3, 3))
    # 绘制数据集散点图
    for [x, y] in dataset:
        plt.scatter(x, y, color = 'red')
    
    
    # 最小二乘法
    coef1 = fit(dataset)
    # 岭回归
    coef2 = ridge_regression(dataset)
    # 梯度下降法
    coef3 = GD(dataset, m = 3)
    # 共轭梯度法
    coef4 = CG(dataset)
    
    # 绘制出四种方法的曲线
    draw(dataset, coef1, color = 'red', label = 'OLS')
    draw(dataset, coef2, color = 'black', label = 'Ridge')
    draw(dataset, coef3, color = 'purple', label = 'GD')
    draw(dataset, coef4, color = 'green', label = 'CG(lambda:0)')
    # 绘制标签, 显示图像
    plt.legend()
    plt.show()

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