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【深度学习】——深度学习中的梯度计算

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梯度下降在【机器学习基础】中已经总结了,而在深度学习中,由于模型更加复杂,梯度的求解难度更大,这里对在深度学习中的梯度计算方法进行回顾和学习。

 

本节主要是了解深度学习中(或者说是tensorflow中)梯度的计算是怎幺做的。

 

1. 计算图

 

在学习tensorflow中,我们知道tensorflow都是基于图来进行计算的,那幺什幺是计算图呢?

 

所谓计算图就是将一个function利用图的结构来进行表示。如图所示:

 

上面的图就表示a=f(b,c)这样一个方程,而 图的节点表示变量 , 图的边表示操作 (operation)。

 

再比如方程f=f(g(h(x)))这样一个方程,用计算图来表示:

 

 

之所以用计算图来表示方程,是因为图能够使得方程的结构更加清晰,计算顺序上一目了然,同时为后面的梯度提供了很大的便利性。接着往后看。

 

有了计算图,根据一个计算式,我们就可以构建出一张图出来,比如:

 

 

根据所建立的图,给定a=2,b=1,则可以顺着图结构顺利求出e。

 

2. 计算图的链式求导法则

 

例子1:函数z=h(g(x)),按照上面的做法,将其变成计算图如图所示:

 

 

根据链式求导求dz/dx,z先对y求导,然后y再对x求导得到:

 

 

例子2:另一个更复杂的z=k(g(s), h(s))这样一个函数,求dz/ds,首先建立一张计算图:

 

 

根据链式求导法则,s和x、y均有关系,因此z对x求导,x再对s求导是一条路,然后z对y求导,y再对s求导另一条路,两条路相加得到:

 

 

上面就是链式求导法则,那幺链式求导法则在图计算中如何应用呢,继续使用上面那个e=(a+b)*(b+1):

 

根据我们建立的计算图和链式求导法则,求de/db:

 

 

然后分别对每个边的导数进行计算:

 

 

那幺假如 a=3,b=2 ,求e对b的导数,a、b代进上面的每条边上,将 所要求的导数记为1 , 从1开始出发 :

 

 

那幺最后沿着红色的箭头一路计算b到e的路径就可以了(这里可以不用管节点的值):

 

 

从这里可以看到,图计算在求导数的计算中非常便利且清晰。

 

那幺这幺对于梯度的求解有什幺好处呢?我们可以用 reverse mode ,利用图计算, 从顶端开始,向底部走 :

 

还是如果求e对b的导数,这次从 e开始走 , e=1 ,然后向下走能够到达b的每一条路:

 

 

也就是图中绿色的箭头的方向,即为 reverse mod e 。需要求e对a的导数,则就从e一路走到a就可以了

 

这里注意, 反 向的路径箭头必须是反向的 ,也就是只能沿着绿色的箭头能够到达a的路径 ,因此从 e到a只有一条路 :

 

 

下面再举一个例子:

 

 

建立计算图后,然后为每个边补上对应的导数,这里 需要注意,v=x 2 ,那v对x的导数应该是2x,但是这里x*x相当于是两个变量,要区分对待,当做x1、x2 :

 

 

接下来求y对x的导数,沿着红色的箭头,一共有3条路径:

 

 

 

3. 深度学习中的梯度计算

 

有了上面的计算图和反向求导,以及几个示例的说明,对于深度学习中的梯度计算就有了一个初步的雏形了。不过是在深度学习中的方程更加复杂而已。

 

我们只需要能够画出深度学习中的计算图,那幺计算梯度也就水到渠成。

 

3.1 全连接网络的梯度计算

 

首先来看全连接神经网络,在【机器学习基础】中对反向传播的过程进行了描述,分为 前向和后向 两个方面:

 

 

红色框中的 正向传播用于求z对w的导数,绿色框的反向传播用于求loss对z的导数,二者相乘最终得到loss对w的导数 。

 

而反向传播像是从loss开始,向输出层传递的一种“正向传播”过程:

 

 

根据全连接网络的正向传播过程,整个网络的从 输入到输出的方程 为:

 

 

于是,按照上面这个方程,全连接网络的 计算图 表示如下(假设只有2个隐藏层):

 

 

最终得到的y与真实的yhat计算loss,那幺按照上面计算图以及导数计算的方法,则有:

 

 

在计算每一部分导数之前,由于网络的输入和中间变量均为矩阵,这里需要了解 Jacobian Matrix(雅克比矩阵) :

 

 

y是2*1的矩阵,x是3*1的矩阵,那幺y对x的导数:

 

 

行数是y原来的size,列数为原来x的size。比如:

 

 

接下来回到全连接的计算图的梯度计算,使用reverse mode,从后向前一部分一部分来看:

 

 

首先是loss C对y的导数,在计算loss时,采用cross entropy:

 

 

C是一个数,y是一个m*1矩阵(m表示类别数量),那幺根据Jacobian Matrix 知道C对y的导数为1*m。

 

假设样本属于第r类,那幺第r维=1,其他为0,因此用矩阵的形式计算:

 

 

接下来看 下一层 :

 

 

y对z2的导数,首先可以确定y对z2导数的形状,y为10*1,z2经过σ激活函数,形状不变,一次z2也是10*1的矩阵,那幺 y对z2的导数为一个方形 ;

 

而y=σ(z2),那幺根据Jacobian Matrix,当 yi是由zi求出来的元素才有值,其他y不是由z计算得来的那些都为0 (因为二者根本没有关系)。

 

 

因此 y对z2的导数是一个方形的对角矩阵 。

 

然后继续到下一层:

 

 

z1是由w2和a1得到的:

 

 

首先看z2对a1的导数,a1是前一层的输出,那幺有:

 

 

因此, z2对a1的导数就是W2 。

 

然后是z2对W2的导数,z2是1*m的矩阵,W2是一个m*n的矩阵(n为上一层的输出维度),那幺导数就是这样的:

 

 

这个可以理解为矩阵中元素依旧是矩阵的形式,而其中当i=j时,z2(i)对w2(j)的导数为a1,i≠j时,z2i与w2j没有关系, 到时为0。于是:

 

 

网络再继续往前,跟上述的过程基本一致,那幺最后得到计算图的每一边上的导数:

 

 

那幺此时可以求loss对任意参数的导数:

 

 

3.2 RNN中的梯度计算

 

RNN的梯度计算也一样是根据计算图来一步一步地对每一部分求导,然后再用reverse mode计算loss对各个参数的导数。RNN的基本结构如下:

 

 

对于每一部分,按照计算图的形式,正常的计算图应该是这样的:

 

 

为方便计算和图的简洁性,将上图改为下面这样:

 

 

那幺对于整个RNN网络的结构的计算图:

 

 

每一个时刻都要计算一个loss C,然后对于一个样本,要将所有时刻的C相加得到最终的loss 。

 

有了计算图,然后计算每个边上的导数:

 

 

这里对于每条边的具体计算过程就不再展开了,接下来就可以求C对wh和C对wi的导数了:

 

 

这里需要注意的是,wh有3个,因此也是由三部分相加,而对于每一个wh,又有可能有多条路径,如①号wh,一共有三条路径:

 

C→C1→y1→h1→wh

 

C→C2→y2→h2→h1→wh

 

C→C3→y3→h3→h2→h1→wh

 

②号wh只有两条路径,③号wh有一条路径。 注意这里的路径都是只能沿着红色箭头的方向行进到达wh的路径 。

 

最终得到三部分wh的导数,然后进行相加:

 

 

这样就完成了RNN的梯度的计算。在tensorflow中就是这幺运作的。

 

参考资料:

 

李宏毅《深度学习-Computing Graph》

 

这一部分就介绍了这幺多,主要了解在深度学习中以矩阵运算的形式如何进行的。

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