浅谈 梯度下降法/Gradient descent

当今世界,深度学习应用已经渗透到了我们生活的方方面面,深度学习技术背后的核心问题是最优化(Optimization)。最优化是应用数学的一个分支,它是研究在给定约束之下如何寻求某些因素(的量),以使某一(或某些)指标达到最优的一些学科的总称。

 

 

梯度下降法(Gradient descent,又称最速下降法/Steepest descent),是无约束最优化领域中历史最悠久、最简单的算法,单独就这种算法来看,属于早就“过时”了的一种算法。但是,它的理念是其他某些算法的组成部分,或者说在其他某些算法中,也有梯度下降法的“影子”。例如,各种深度学习库都会使用SGD(Stochastic Gradient Descent,随机梯度下降)或变种作为其优化算法。

 

今天我们就再来回顾一下梯度下降法的基础知识。

 

1. 名字释义

 

在很多机器学习算法中,我们通常会通过多轮的迭代计算,最小化一个损失函数(loss function)的值,这个损失函数,对应到最优化里就是所谓的“目标函数”。

 

在寻找最优解的过程中,梯度下降法只使用目标函数的一阶导数信息——从“梯度”这个名字也可见一斑。并且它的本意是取目标函数值“最快下降”的方向作为搜索方向,这也是“最速下降”这个名字的来源。

 

于是自然而然地,我们就想知道一个问题的答案:沿什幺方向,目标函数 f(x) 的值下降最快呢?

 

2. 函数值下降最快的方向是什幺

 

先说结论:沿负梯度方向

 

 

函数值下降最快。此处,我们用 d 表示方向(direction),用 g 表示梯度(gradient)。

 

下面就来推导一下。

 

将目标函数 f(x) 在点 处泰勒展开(在最优化领域,这是一个常用的手段):

 

 

高阶无穷小 o(α)可忽略,由于我们定义了步长α>0(在ML领域,步长就是平常所说的learning rate),

 

因此,当 即函数值是下降的。

 

此时 就是一个下降方向。

 

但是 具体等于什幺的时候,可使目标函数值下降最快呢?

 

数学上,有一个非常着名的不等式:Cauchy-Schwartz不等式(柯西-许瓦兹不等式)①,它是一个在很多场合都用得上的不等式:

 

 

当且仅当:

 

 

时等号成立。

 

由Cauchy-Schwartz不等式可知:

 

 

当且仅当 时,等号成立, 最大(>0)。

 

所以, 最小(<0),f(x) 下降量最大。

 

所以, 是最快速下降方向。

 

3. 缺点

 

它真的如它的名字所描述的,是“最快速”的吗?从很多经典的最优化书籍你会了解到:并不是。

 

事实上,它只在局部范围内具有“最速”性质;对整体求最优解的过程而言,它让目标函数值下降非常缓慢。

 

4. 感受一下它是如何“慢”的

 

先来看一幅图②

 

 

这幅图表示的是对一个目标函数寻找最优解的过程,图中锯齿状的路线就是寻优路线在二维平面上的投影。从这幅图我们可以看到,锯齿一开始比较大(跨越的距离比较大),后来越来越小;这就像一个人走路迈的步子,一开始大,后来步子越迈越小。

 

这个函数的表达式是这样的:

 

 

它叫做Rosenbrock function(罗森布罗克函数)③,是个非凸函数,在最优化领域,它可以用作一个最优化算法的performance test函数。这个函数还有一个更好记也更滑稽的名字:banana function(香蕉函数)。

 

我们来看一看它在三维空间中的图形:

 

 

它的全局最优点位于一个长长的、狭窄的、抛物线形状的、扁平的“山谷”中。

 

找到“山谷”并不难,难的是收敛到全局最优解(在 (1,1) 处)。

 

正所谓:

世界上最遥远的距离,不是你离我千山万水,而是你就在我眼前,我却要跨越千万步,才能找到你。

我们再来看下面这个目标函数的寻优过程④:

 

 

 

和前面的Rosenbrock function一样,它的寻优过程也是“锯齿状”的。

 

它在三维空间中的图形是这样的:

 

 

总而言之就是:当目标函数的等值线接近于圆(球)时,下降较快;等值线类似于扁长的椭球时,一开始快,后来很慢。

 

5. 为什幺“慢”?

 

从上面花花绿绿的图,我们看到了寻找最优解的过程有多幺“艰辛”,但不能光看热闹,还要分析一下原因。

 

在最优化算法中,精确的line search满足一个一阶必要条件,即:梯度与方向的点积为零

 

(当前点在 方向上移动到的那一点 处的梯度,与当前点的搜索方向 的点积为零)。

 

由此得知:

 

 

即:

 

 

故由梯度下降法的 得:

 

 

即:相邻两次的搜索方向是相互直交的(投影到二维平面上,就是锯齿形状了)。

 

如果你非要问,为什幺 就表明这两个向量是相互直交的?那是因为,由两向量夹角的公式:

 

 

可知两向量夹角为90度,因此它们直交。

 

6. 优点

 

这个被我们说得一无是处的方法真的就那幺糟糕吗?

 

其实它还是有优点的:程序简单,计算量小;并且对初始点没有特别的要求;此外,许多算法的初始/再开始方向都是最速下降方向(即负梯度方向)。

 

7. 收敛性及收敛速度

 

梯度下降法具有整体收敛性——对初始点没有特殊要求。

 

采用精确的line search的梯度下降法的收敛速度:线性。

 

引用:

https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Schwarz_inequality
https://en.wikipedia.org/wiki/Gradient_descent
https://en.wikipedia.org/wiki/Rosenbrock_function
https://en.wikipedia.org/wiki/Gradient_descent

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