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产品数学课:如何理解个性化推荐里的数学原理?

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6月份是高考以及毕业的月份,这种时候特别适合老人家怀旧。离开课堂三年,课本上学的知识几乎都还给了老师。写这篇文章即是加深自己对个性化推荐的理解,也想趁着高考时回顾下高(中)数(学)。

 

 

一、什幺是个性化推荐?

 

,是系统的智能推荐。为什幺豆瓣的私人FM特别符合我们的音乐品味,又为什幺电商应用总是知道我们想买什幺?

 

个性化推荐的原理使用较多的是这3种方式: 基于内容的推荐、基于用户的协同过滤、基于物品的协同过滤

 

这3种推荐方式的核心则是 计算相似度 。

 

二、这三种推荐方式是什幺?

 

介绍相似度的计算之前,先为大家简单介绍一下这三种推荐方式。

 

2.1 基于内容的推荐(Content-Based Recommendation)

 

 

表1-内容相似度举例

 

在上表表1的对比中,song 1与song 2,在风格、发行年份、歌手地区及内容上是相近的或者是相同的,这两首歌的相似度更高。

 

song 3仅有发行年份与前面两首歌匹配,其他则完全不匹配,song 3与前两者是完全不相似的。

 

基于内容的推荐,本质是 “你喜欢某一事物,给你推荐近似的事物。”

 

你喜欢song 1,系统为你推荐song2。

 

2.2 基于用户的协同过滤(User-based CF)

 

 

表2-用户相似度举例

 

基于用户的协同过滤,通俗的解释是: 和你相似的用户还买了什幺?

 

我们会先 找到相似的用户 ,然后 找到此类用户喜欢的且目标用户未接触的物品 ,将其推荐给目标用户。

 

上表表2中,我们先找到相似的User 1和User 2(下文简称U1、U2) , 他们都购买了商品A、C且未购买商品B。

 

然后将U1买过的且U2没买过的商品D , 推荐给U2。

 

U3则仅购买商品B,其他的都未购买,推荐系统会认为他与U1、U2没有什幺关联,所以我们不会对U3推荐U1和U2购买的商品。

 

2.3 基于物品的协同过滤(Item-Based CF)

 

基于物品的协同过滤, 以物品为核心,它是对基于用户的协同过滤的一种改良 。

 

理解为:“买了这款商品的用户,还买过什幺。”

 

 

图2-京东图书首页

 

前阵子我购买了《推荐系统实践》一书,在上图中,京东给我推荐了产品相关书籍《幕后产品》以及数据相关书籍《商业智能数据分析》。

 

当然万一我是半个研发呢,所以给我又推荐了一本《深入浅出Prometheus》。

 

2.4 三种推荐方式的区别

 

理解完这三种推荐方式,我们来看看他们之间的区别。

 

1)基于物品的协同过滤与基于内容的推荐

 

内容和物品都是事物的一种,2者似乎都是在计算物品的相似性?看起来是相同的。

 

但实际上基于内容的推荐,更倾向于 两件事物是接近的、相似的 , 与用户的行为无关 。而基于物品的协同过滤则 与事物是否相似关系较小,更多与用户行为有关,是有顺承关系的。

 

2)基于物品的协同过滤与基于用户的协同过滤

 

基于 的协同过滤, 是先找相似的人,再找相似的人喜欢的物品。

 

基于 物品 的协同过滤, 则是找到和某个物品相关的物品。

 

当物品数量、特征相对固定的情况下,更多采用基于物品的协同过滤 。 因为 相对稳定一定程度上意味着不需要实时计算 ,通过离线的运算,对服务器的压力就很小了。

 

当物品和用户量都非常大,这样会造成购买的物品重叠性较低,我们很难才能找到相似的用户,Item-Based CF就不适用了。

 

而在如内容类媒体,微博、新闻网站等,物品(内容)的数量、特征都在不断的变化,去计算物品的相似度性能消耗反而更大了。而新闻媒体更倾向于群体的喜好,这个时候使用User-Based CF也更加的合适。

 

初步了解完这三种推荐方式,我们便回到它们的核心 :相似度的计算。

 

三、相似度怎幺计算

 

相似度常见的计算方式是 余弦相似度、欧几里德距离、Jaccard相关系数。

 

下文则是对 余弦相似度 及 欧几里德距离 的理解。

 

数学课正式开始(敲黑板)。

 

 

图3-多举栗子挂柯南

 

3.1 余弦相似度

 

 

图4-余弦相似度公式

 

最开始我看到这个公式时,有种 《个性化推荐:看到公式就放弃》 的感觉。可是作为一枚产品汪,我觉得,我还是要抢救一下。

 

于是我试着将公式拆解,

 

similarity:相似性;类似性。

 

cos(θ):在直角三角形中=领边/斜边; 在空间中=空间中两个向量夹角的余弦值。

 

 

图5-直角三角形回忆

 

连起来说, 相似度=空间中两个向量夹角的余弦值。

 

在线性代数上:“ 向量是多维空间中从原点出发,具有大小及方向的有向线段。”

 

当 向量的夹角越小,方向则越接近 。代表着 内容、用户、物品的向量方向越接近 ,则他们越相似。

 

而根据图3的公式计算,夹角越小,cos(θ)越趋近于1。所以前辈们将余弦值当成量化相似度的手段,当余弦值趋近于1,二者则是相似的,趋近-1的看做是不相似的。

 

可是,向量为什幺能够代表内容,代表用户呢?

 

 

图6-向量的夹角

 

向量代表着在N维空间中的方向,它的坐标表示法是: α=(x,y), 这个表示法是指向量α在x轴方向以及y轴方向的坐标。不准确但通俗的理解为: 在x轴方向的趋同度以及y轴方向的趋同度。

 

 

图7-向量类比举例

 

换个说法,不是向量,x轴和y轴。而是等于歌曲,发行年份和风格近似度。

 

song2=(95%,1997),即song2这首歌发行年份在1997年,歌曲风格与Brit-Pop的匹配度有95%。

 

 

图8-三维向量举例

 

理解了2维的向量,我想理解3维、多维会更加容易。

 

那幺回到刚刚的问题:“向量为什幺能够代表内容,代表用户呢?”

 

从刚刚的例子我们可以推导出, 内容或者用户本质上是在不同维度拥有相关性的坐标

 

组成内容、用户的维度绝对不止于3维, 当维度越多,我们就会被量化的越彻底,相似度会被计算的越准确。

 

在上文介绍余弦相似度的时候,一直在强调一个词: 方向 。余弦相似度注重维度之间的差异,不注重数值上的差异。这其实也是余弦相似度不足的地方。

 

 

表3-余弦相似度的不足

 

表3中,User 1,给Blur乐队和Oasis乐队分别评了1颗、2颗星,而User 2则是评了4颗、5颗星。

 

 

图9-表3向量表示

 

将其在二维空间中表示,我们会发现,代表User 1和User 2的夹角非常的小,用余弦相似度来计算则会发现余弦值等于0.97,这两名用户会是非常相似的,这真的太糟糕了。

 

而对于强调数值差异的事件相似度,我们要用什幺方法来计算呢?

 

一种方法是, 利用维度间均值是调整余弦的相似度, User 1,User 2对两支乐队评分的平均值是3。

 

我们将2名用户的评分减去3,则会变成User 1(-2,-1),User 2(1,2),再次通过余弦相似度计算,得出-0.8,这个时候的差异值就非常大了。

 

另一种方法,则是利用欧几里德距离。

 

3.2 欧几里德距离

 

 

图10-欧几里德距离

 

欧几里德距离,它也叫欧式距离。上文我们提到的向量,也称欧几里德向量。

 

这个公式实际上是 二维空间中两点的距离,多维空间中向量的距离。距离越小,则差异越小,越接近。

 

由于我们习惯相似度与1进行类比,越接近于1相似度越高。所以前辈们对欧式距离进行了归一化处理,通过将函数值加1,并取其倒数的方法来构造欧几里得相似度函数。

 

其中加1的目的则是为了避免分母为0。

 

 

图11-欧几里德相似度函数

 

将上文表3的值代入欧几里德相似度函数,SimDistance≈0.2,那我们也能够得出正确的结论,User 1以及User 2并不相似。

 

欧氏距离体现事件数值的差异,如:GMV的增长金额,用户的消费频次等。类似GMV这类数字,很可能增速趋近,但是增长的金额却大不相同。

 

欧氏距离和余弦相似度分别适用于不同的数据分析模型,欧氏距离适用于数值差异敏感的推荐,而余弦相似度用于方向上的差异,更多用于兴趣的相似度及差异。

 

最后

 

以上,是对个性化推荐一部分笔记,在个性化推荐落实到应用层面,其实还有 冷启动、过滤、加权以及融合 等等。这方面有更专业的大佬已经做了许多的总结,就不多献丑了。

 

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