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梯度下降算法详解

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如果说在机器学习领域有哪个优化算法最广为认知,用途最广,非梯度下降算法莫属。梯度下降算法是一种非常经典的求极小值的算法,比如在线性回归里我们可以用最小二乘法去解析最优解,但是其中会涉及到对矩阵求逆,由于多重共线性问题的存在是很让人难受的,无论进行L1正则化的Lasso回归还是L2正则化的岭回归,其实并不让人满意,因为它们的产生是为了修复此漏洞,而不是为了提升模型效果,甚至使模型效果下降。但是换一种思路,比如用梯度下降算法去优化线性回归的损失函数,完全就可以不用考虑多重共线性带来的问题。其实不仅是线性回归,逻辑回归同样是可以用梯度下降进行优化,因为这两个算法的损失函数都是严格意义上的凸函数,即存在全局唯一极小值,较小的学习率和足够的迭代次数,一定可以达到最小值附近,满足精度要求是完全没有问题的。并且随着特征数目的增多(列如100000),梯度下降的效率将远高于去解析标准方程的逆矩阵。神经网络中的后向传播算法其实就是在进行梯度下降,GDBT(梯度提升树)每增加一个弱学习器(CART回归树),近似于进行一次梯度下降,因为每一棵回归树的目的都是去拟合此时损失函数的负梯度,这也可以说明为什幺GDBT往往没XGBoost的效率高,因为它没办法拟合真正的负梯度,而Xgboost 的每增加的一个弱学习器是使得损失函数下降最快的解析解。总之梯度下降算法的用处十分广泛,我们有必要对它进行更加深入的理解。

 

关于梯度下降算法的直观理解

 

 

关于梯度下降算法的直观理解,我们以一个人下山为例。比如刚开始的初始位置是在红色的山顶位置,那幺现在的问题是该如何达到蓝色的山底呢?按照梯度下降算法的思想,它将按如下操作达到最低点:

 

第一步,明确自己现在所处的位置

 

第二步,找到相对于该位置而言下降最快的方向

 

第三步, 沿着第二步找到的方向走一小步,到达一个新的位置,此时的位置肯定比原来低

 

第四部, 回到第一步

 

第五步,终止于最低点

 

按照以上5步,最终达到最低点,这就是梯度下降的完整流程。当然你可能会说,上图不是有不同的路径吗?是的,因为上图并不是标准的凸函数,往往不能找到最小值,只能找到局部极小值。所以你可以用不同的初始位置进行梯度下降,来寻找更小的极小值点,当然如果损失函数是凸函数就没必要了,开开心心的进行梯度下降吧!比如下面这种:

 

 

问题是,如何用数学语言去描述以上5步呢?

 

梯度下降算法的理论推导

 

一元函数

 

一元函数的导数我相信大家都学过,其几何意义是某点切线的斜率,除此之外它还能表示函数在该点的变化率,导数越大,说明函数在该点的变化越大。

 

 

 

则导函数本身则代表着函数沿着x方向的变化率

 

二元函数

 

对于二元函数, z=f(x,y) ,它对 x 和 y 的偏导数分别表示如下:

 

函数在y方向不变的情况下,函数值沿x方向的变化率

 

函数在x方向不变的情况下,函数值沿y方向的变化率

 

有了以上的了解,我们分别知道了函数在单独在 x 和 y 方向上的变化率

 

现在有一个问题,我想知道函数在 其他方向 上的变化率怎幺办?

 

比如下图中的 u 方向上:

 

 

其实是可以做到的,我们都学过, 在一平面中,任意一向量都可以用两个不共线的基向量表示,也就是说任意一方向上的变化,都可以分解到x和y两个方向上 。

 

比如,我想求 u 方向上的变化率,根据导函数的定义

 

若:

 

 

其中α是u方向与x正方向的夹角

 

极限存在, 可用洛必达法则,分子分母同时对▲u求导

 

原式等于:

 

 

令:

 

 

这是一个自变量是α的函数,我们将其命名为方向导数,其表明随着α的不同,方向不同,函数的变化率不同。

 

至此,我们推出了,方向导数的概念,还记得我们的梯度下降算法的第二步是什幺吗?

 

”找到相对于该位置而言下降最快的方向“

 

而我们的方向导数,本身代表的就是函数变化率与方向的关系,也就是说我们需要利用方向导数,找到使得函数变化率最大的方向

 

那幺,问题来了,在哪一个方向上变化率最大呢?

 

寻找函数变化率最大的方向-梯度

 

我们可以这样改写,令:

 

 

则:

 

 

θ是两个向量的夹角

 

显然,当θ=0时,取得最大方向导数,也就说随着 α 的改变,当两个向量 A 和 I 是平行的时候,取得最大方向导数,而此时 I 的方向就是下式的方向:

 

 

我们把上式称之为梯度,所以梯度方向是函数变化率最大的方向,更本质的说是函数增长最快的方向

 

所以,当我们需要最小化损失函数时,只需要使损失函数沿着负梯度前行,就能使损失函数最快下降。

 

更高元函数

 

二元函数的推导结论同样可作用于更高元的函数。

 

所以,高元函数在某点的梯度就是对每一个自变量求偏导,组成的一个向量,在该点的取值,该向量的方向就是函数在该点处增长最快的方向,显然,其负方向就是函数减少最快的方向

 

以下面的函数举个例子,这是一个有n+1个自变量的函数,自变量是 θ :

 

 

首先呢,随机化一个我们梯度下降的初始位置,全部为0吧, 当然在神经网络中可不能如此随意 :

 

 

计算梯度,对每一个自变量求偏导:

 

 

将初始化的值 0 ,代入上式梯度,就可以得到一个具体的向量,为什幺是一个具体的向量呢?这个你要自己想想了

 

而该向量的方向就是函数在该点增长最快的方向

 

那幺,显然,我们需要往其 负方向走一段距离 ,可是,如何往负方向走呢?其实一样的道理,该负方向同样将其分解到各个自变量的维度上,即其更新过程可写成:

 

 

式中的减号表示往梯度的负方向改变

 

а为学习率,是一个大于0的数,它能控制沿着该方向走多长一段距离, 不是步长

 

什幺才是真正的步长?

 

一个式子说明足以,将 当前位置θ 代入下式,就是在该点处梯度下降的步长:

 

 

所以 步长是一个有方向和模长的矢量 ,当然也是符合我们直观上的理解的,你总要确定往哪个方向走以及步子迈多大。

 

应用:线性回归的梯度下降解法

 

首先,我们给出线性回归的损失函数,为了方便,不带正则项:

 

 

其中:

 

 

 

其更新过程可写成:

 

 

具体的梯度下降流程:

 

第一步:先随便假设一组 θ ,你要是喜欢可以全部取0

 

第二步循环迭代:

 

第一次迭代:

 

 

 

…….

 

 

第二次迭代:

 

 

 

……

 

 

……

 

第x次迭代:……

 

第三步,满足要求,循环结束,得到 θ

 

参考资料:

    1. 为什幺梯度反方向是函数值局部下降最快的方向?

https://zhuanlan.zhihu.com/p/24913912

    1. 梯度下降(Gradient Descent)小结-刘建平

https://www.cnblogs.com/pinard/p/5970503.html

 

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