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SVD奇异值分解原理及应用

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什幺是SVD?

 

奇异值分解(singular value decomposition)是线性代数中一种重要的矩阵分解,在生物信息学、信号处理、金融学、统计学等领域有重要应用,SVD都是提取信息的强度工具。在机器学习领域,很多应用与奇异值都有关系,比如推荐系统、数据压缩(以图像压缩为代表)、搜索引擎语义层次检索的LSI等等。

 

SVD的原理

 

矩阵相关知识

 

正交与正定矩阵

正交矩阵:若一个方阵其行与列皆为正交的单位向量,则该矩阵为正交矩阵,且该矩阵的转置和其逆相等。两个向量正交的意思是两个向量的内积为 0。
正定矩阵:如果对于所有的非零实系数向量 z,都有 ,则称矩阵是正定的。正定矩阵的行列式必然大于0,所有特征值也必然>0。相对应的,半正定矩阵的行列式必然 ≥ 0。

转置与共轭转置

 

矩阵的转置(transpose)是最简单的一种矩阵变换。简单来说,若的矩阵的转置记为 ;则 是一个的矩阵,并且 。因此,矩阵的转置相当于将矩阵按照主对角线翻转;同时,我们不难得出

 

 

矩阵的共轭转置(conjugate transpose)可能是倒数第二简单的矩阵变换。共轭转置只需要在转置的基础上,再叠加复数的共轭即可。因此,若以 记矩阵的共轭转置,则有

 

酉矩阵

 

酉矩阵(unitary matrix)是一种特殊的方阵,它满足 。不难看出,酉矩阵实际上是推广的正交矩阵(orthogonal matrix);当酉矩阵中的元素均为实数时,酉矩阵实际就是正交矩阵。另一方面,由于 ,所以酉矩阵满足 ,事实上,这是一个矩阵是酉矩阵的充分必要条件。

 

正规矩阵

 

同酉矩阵一样,正规矩阵(normal matrix)也是一种特殊的方阵,它要求在矩阵乘法的意义下与它的共轭转置矩阵满足交换律。这也就是说,若矩阵满足如下条件,则称其为正规矩阵: 。显而易见,复系数的酉矩阵和实系数的正交矩阵都是正规矩阵。显而易见,正规矩阵并不只有酉矩阵或正交矩阵。例如说,矩阵 即是一个正规矩阵,但它显然不是酉矩阵或正交矩阵;因为

 

谱定理和谱分解

 

矩阵的对角化是线性代数中的一个重要命题。谱定理(spectral theorem)给出了方阵对角化的一个结论:若矩阵是一个正规矩阵,则存在酉矩阵,以及对角矩阵,使得 。这也就是说,正规矩阵,可经由酉变换,分解为对角矩阵;这种矩阵分解的方式,称为谱分解(spectral decomposition)。

 

SVD奇异值分解

 

谱定理给出了正规矩阵分解的可能性以及分解形式。然而,对于矩阵来说,正规矩阵是要求非常高的。因此,谱定理是一个非常弱的定理,它的适用范围有限。在实际生产中,我们遇到的很多矩阵都不是正规矩阵。对于这些矩阵,谱定理就失效了。作为谱定理的泛化,SVD 分解对于原矩阵的要求就要弱得多。

 

 

假设是一个的矩阵,其中的元素全部属于数域(实数域或复数域)。那幺,存在的酉矩阵和的酉矩阵使得:

 

 

其中是的非负实数对角矩阵;并且对角线上的元素 是的奇异值。一般来说,我们偏好将这些奇异值按从大到小的顺序排列,这样一来就由唯一确定了。

 

另一方面,因为 U 和 V 都是酉矩阵,所以 U 和 V 的列向量分别张成 Km 和 Kn 的一组标准正交基。我们将 U 的列向量记作 u⃗ i,1⩽i⩽m;将 V 的列向量记作 v⃗ j,1⩽j⩽n;同时,将 Σ 对角线上的第 i 个元素记作 σk,1⩽k⩽min(m,n)。那幺,SVD 分解实际可以将矩阵 M 写作一个求和形式:

 

 

SVD 的计算方法

 

SVD 与特征值

 

现在,假设矩阵 的 SVD 分解是 ,那幺,我们有

 

 

这也就是说,的列向量(左奇异向量),是 的特征向量;同时,的列向量(右奇异向量),是 的特征向量;另一方面,的奇异值(的非零对角元素)则是 或者 的非零特征值的平方根。

 

如何计算 SVD

 

有了这些知识,我们就能手工计算出任意矩阵的 SVD 分解了;具体来说,算法如下:

计算
分别计算 的特征向量及其特征值;
的特征向量组成;而 的特征向量组成;
的非零特征值求平方根,对应上述特征向量的位置,填入的对角元。

实际计算看看

 

现在,我们来试着计算 的奇异值分解。计算奇异值分解,需要计算与其共轭转置的左右积;这里主要以 为例。

 

首先,我们需要计算

 

 

现在,我们要求 W 的特征值与特征向量。根据定义;因此 。这也就是说:

 

 

根据线性方程组的理论,若要该关于的方程有非零解,则要求系数矩阵的行列式为 0;也就是:

 

 

这也就是

 

 

;解得 , , 。将特征值代入原方程,可解得对应的特征向量;这些特征向量即作为列向量,形成矩阵:

 

 

同理可解得(注意, 的特征值相同)

 

 

以及上的对角线元素由的特征值的算术平方根组成;因此有:

 

 

因此我们得到矩阵的 SVD 分解(数值上做了近似):

 

 

SVD的应用实战

 

本次实战内容为基于模型的协同过滤算法。假设我们用m个用户,n个商品,每个用户对每个商品的评分可以组成一个m*n的二维矩阵。当然,这个矩阵中会有非常多的值是不知道的,可能是用户没有用过这个商品,也有可能用户使用后没有进行评分。如下图所示:

 

 

图中空白位置即未知的值。接下来,我们需要做的是根据这个残缺的二维矩阵中已知的值,预测出未知的值,即预测出每一个用户对每一个商品的评分。可以想象,当矩阵被预测值补充完整之后,矩阵的每一行即表示一个用户对所有商品的评分,可以从这些评分中提取评分最高的几个商品推荐给用户,这样我们就完成了一个推荐系统模型。接下来,就是如何通过已知值预测未知值的问题了,这里我们采用矩阵分解的方式,如图所示:

 

 

中间矩阵可以拆分为左边和上边两个矩阵的乘积,这就是奇异值分解,一个矩阵总是可以拆分成两个矩阵相乘。

 

第一步:安装Python组件及准备数据

 

1、安装Python推荐系统库: Surprise (Simple Python Recommendation System Engine)

 

pip install scikit-surprise

 

2、准备训练数据

 

用到的数据集movieslen 100k: https://grouplens.org/datasets/movielens/

 

Surprise自带数据集就支持movieslen,运行如下代码:

 

from surprise import Dataset
# 加载movielens数据
data = Dataset.load_builtin('ml-100k')

 

交互窗口提示如下内容:

 

Dataset ml-100k could not be found. Do you want to download it? [Y/n]

 

输入Y以后会自动将数据集下载下来并可直接使用。

 

第二步:使用SVD进行模型训练

 

from surprise import SVD
from surprise import Dataset
from surprise.model_selection import cross_validate, train_test_split
from surprise import accuracy
 
data = Dataset.load_builtin('ml-100k')
 
# 拆分训练集与测试集,75%的样本作为训练集,25%的样本作为测试集
# 这里的train_set的类型是surprise.dataset.Trainset类型,我们可以查看数据的基本信息
# train_set.n_users
# Out[2]: 943
# train_set.n_items
# Out[3]: 1637
# 这说明我们要用于训练的样本共有943个用户,1637个商品。
 
train_set, test_set = train_test_split(data, test_size=.25)
 
# 训练模型,指定有35个隐含特征,使用训练集进行训练
# 35隐含特征是指,原本943*1637的矩阵会被拆分成943*35和35*1637的两个矩阵乘积。
# n_factors值可以任意指定只要不超过943即可,但是设置不同的值将会拟合出不同的模型,需要选择使结果较优的值。
# n_factors我一般选择ceiling(m*n,1/4)用来测试
 
model = SVD(n_factors=35)
 
# 5折验证,输出结果
# 输出的内容为:
# Evaluating RMSE, MAE of algorithm SVD on 5 split(s).
#                   Fold 1  Fold 2  Fold 3  Fold 4  Fold 5  Mean    Std     
# RMSE (testset)    0.9310  0.9320  0.9364  0.9329  0.9402  0.9345  0.0034  
# MAE (testset)     0.7327  0.7357  0.7387  0.7357  0.7375  0.7361  0.0020  
# Fit time          4.93    4.36    4.27    4.14    4.30    4.40    0.27    
# Test time         0.24    0.31    0.30    0.20    0.19    0.25    0.05   
cross_validate(model, data, measures=['RMSE', 'MAE'], cv=5, verbose=True)
 
# 使用训练集进行训练
model.fit(train_set)
 
# 模型训练完成后也可以查看拆分出来的两个矩阵
# model.pu.shape
# Out[2]: (943, 35)
# model.qi.shape
# Out[3]: (1637, 35)
 
# 使用测试集进行测试
# 输出的内容为:RMSE: 0.9413
predictions = model.test(test_set)
accuracy.rmse(predictions)

 

第三步:根据模型结果进行推荐

 

uid = str(196)  # raw user id (as in the ratings file). They are **strings**!
iid = str(302)  # raw item id (as in the ratings file). They are **strings**!
 
# 获取指定用户和电影的评级结果.
# 输出内容:
# user: 196        item: 302        r_ui = 4.00   est = 4.05   {'was_impossible': False}
pred = model.predict(uid, iid, r_ui=4, verbose=True)

 

SVD的缺点

 

SVD分解是早期推荐系统研究常用的矩阵分解方法,不过该方法具有以下缺点,因此很难在实际系统中应用。

该方法首要需要用一个简单的方法补全稀松评分矩阵。一般来说,推荐系统中的评分矩阵是非常稀疏的,一般都有95%以上的元素是缺失的。而一旦补全,评分矩阵就会变成一个稠密矩阵,从而使评分矩阵的存储需要非常大的空间,这种空间的需求在实际系统中是不可能接受的。
该方法依赖的SVD分解方法的计算复杂度较高,特别是在稠密的大规模矩阵上更是非常慢。一般来说,这里的SVD分解用于1000维以上的矩阵就已经非常慢了,而实际系统动辄上千万的用户和几百万的物品,所以这一方法无法使用。如果仔细研究这方面的论文可以发现,实验都是在几百个用户、几百个商品的数据集上进行的。

如何解决SVD存在的问题,请听下回分解。

 

参考链接:

https://liam.page/2017/11/22/SVD-for-Human-Beings/
https://github.com/PirosB3/PyConUS2018
https://www.zybuluo.com/rianusr/note/1195225
https://www.cnblogs.com/pinard/p/6251584.html
http://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-svd

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