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基于矩阵分解算法的推荐系统实战

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设:

 

U 为所有用户集合

 

P 为所有物品集合

 

R 为用户对物品的喜好程度

 

模型 Model(R) = U * P

 

算法核心:

 

通过用户对不同物品的打分,来预测用户对其他物品的喜好程度。此处并没有考虑用户和物品的属性,如:用户年龄,性别,学历,工作等,物品价格,品类,外观等。

 

通过用户对物品的打分,可以建立一个推荐值矩阵,之后就可以通过运算该矩阵来预测用户喜好,即为矩阵分解算法!

 

 

将推荐值矩阵 R 分解为矩阵 U 和 P,使得 U 和 P 的乘积得到的新矩阵 R* 中的元素与 R 中的已知元素的值非常接近,那幺 R* 中对应于 R 中的未知元素的值就是预测值。

 

推荐值矩阵:

 

时间简史 万历三十年 大秦帝国 红楼梦 数学简史
小明 1 4 1
小王 2 2 4
小李 4 1 4
小张 5 1 4

 

推荐值矩阵关键性问题:

 

 

    1. 初始值获取,数据的收集

 

    1. 从推荐值矩阵中已知数据预测未知数据

 

    1. 建立评价系统,用于检验推荐系统的效果

 

 

收集数据

 

一般可以采取网络爬虫的方式,比如对于数据的评分,可以爬取豆瓣读书上的数据,也可以在自己可以控制的网站上做埋点等来收集用户信息。

 

预测未知数据

 

关键挑战:

 

当用户和物品的数量都比较大时,推荐之矩阵通常会是一个稀疏矩阵(在矩阵中,若数值为0的元素数目远远多于非0元素的数目,并且非0元素分布没有规律时,则称该矩阵为稀疏矩阵),说明大多数用户可能并没有对大多数物品表达喜好。

 

冷启动问题,是每一个推荐系统都需要面对的问题。

 

矩阵分解实例:

 

即:

 

对比最左侧的元素矩阵和最右侧的预测矩阵,预测矩阵中位于原始矩阵缺失数值位置的元素值,即为预测值。

 

同时也可以得到

 

 

即:对于在 ij 位置上的物品的喜好数据,可以通过第 i 个用户的画像向量和第 j 个物品的画像向量代表。

 

使用图形表示如下:

其中 k 在数学上的意义为矩阵分解的秩,在业务上的意义为 影响用户给物品评分的 k 个影响因子,当前我们无法直接知道 k 的值,在模型训练时,一般采取交叉验证的方式来寻找最优的 k 值。

 

我们可以使用“和方差”来作为损失函数

 

 

这里通过已知的{ },计算“和方差”,使之达到最小,即预测值越接近真实值。以此得出的 U 和 P 的值就是我们需要的值。

 

损失函数的梯度

 

单独取出误差

 

 

对误差 L 分别在 U 和 P 上求导可得

 

 

 

现在我们已经知道了损失函数的梯度(导数),下面就可以使用梯度下降法来求解 U 和 P 的值。

 

梯度下降法

随机选取一个起始点,然后在负梯度的方向上持续训练,直到损失函数的梯度越来越接近零,此时即可取得最优解。

 

引入正则化

 

为了防止过拟合的发生,对损失函数加入正则化参数

 

 

λ>0

 

这样,当 U 和 P 都保证比较小的情况下,U 或者 P 的数值剧烈变化时,U 和 P 的点积也不会有太大的变化。

 

最终的损失函数为:

 

+

 

最终损失函数的梯度为:

 

 

 

运用梯度下降法求最优解

 

设定梯度下降的速率 γ(学习速率)和 k 值,并随机初始化 U 和 P,重复训练,直到误差满意为止。

 

 

 

评估推荐系统

最基本的就是,通过训练集训练模型,通过测试集测试模型,如果模型在测试集上的表现达到我们的预期,则该模型可以上线部署。 一般采用平均绝对离差来验证模型预测值的好坏

n:测试集中推荐值的总数量

 

:真实的用户 u 对物品 p 的推荐值

 

:预测的用户 u 对物品 p 的推荐值

在线的 A/B 测试

项目实战

 

数据集格式如下:

 

1	1119	9.000000
1	167	8.000000
1	6265	8.000000
1	1440	9.000000
1	1427	9.000000
1	5404	8.000000
1	259	7.000000
1	4156	8.000000
2	419	9.000000
2	415	10.000000
2	2834	9.000000
2	228	10.000000
2	107	10.000000
2	440	9.000000
2	44	10.000000
2	455	10.000000

 

第一列为用户 ID,第二列为物品 ID,第三列为对应的打分(1-10)

 

总体代码基于 surprise 库,可以先安装

 

pip install scikit-surprise

 

下面导入相关库和数据集

 

import numpy as np
import surprise
from surprise import BaselineOnly
from surprise import Dataset
from surprise import Reader
from surprise import accuracy
from surprise.model_selection import cross_validate
from surprise.model_selection import train_test_split

reader = Reader(line_format='user item rating', sep='\t', rating_scale=(1, 10))
data = Dataset.load_from_file('book_ratings.dat.txt', reader=reader)
# 将数据随机分为训练和测试数据集
trainset, testset = train_test_split(data, test_size=.25)

 

根据公式,定义算法函数

 

class MatrixFactorization(surprise.AlgoBase):
    def __init__(self, lr, n_epochs, n_factors, lmd):
        self.lr = lr  # 梯度下降法的学习速率
        self.n_epochs = n_epochs  # 梯度下降法的迭代次数
        self.n_factors = n_factors  # 分解的矩阵的秩,即影响用户打分的隐藏因子
        self.lmd = lmd  # 正则化参数
    
    def fit(self, trainset):
        print("Fitting data...")
        # 随机初始化 u 和 p 矩阵
        u = np.random.normal(0, .1, (trainset.n_users, self.n_factors))  # 均值为0,方差为0.1,(行数,列数)
        p = np.random.normal(0, .1, (trainset.n_items, self.n_factors))
        
        # 梯度下降法
        for _ in range(self.n_epochs):
            print("Round:", _)
            for i, j, r_ij in trainset.all_ratings():
                # 这里就是套用上面得到的公式
                # u_old[i] = u[i]
                err = r_ij - np.dot(u[i], p[j])
                u[i] -= -self.lr * err * p[j] + self.lr * self.lmd * u[i]
                p[j] -= -self.lr * err * u[i] + self.lr * self.lmd * p[j]
        
        self.u, self.p = u, p
        self.trainset = trainset
        print("End fitting!")
        
    def estimate(self, i, j):
        if self.trainset.knows_user(i) and self.trainset.knows_item(j):
            return np.dot(self.u[i], self.p[j])
        else:
            return self.trainset.global_mean  # 返回平均值

 

最后再训练、预测,评估

 

algo = MatrixFactorization(0.005, 60, 3, 0.2)
algo.fit(trainset)
predictions = algo.test(testset)
accuracy.mae(predictions)

 

可以调整学习速率,迭代次数,隐藏因子个数和正则化参数等来训练不同的模型,并评估结果,获取满意的模型。

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