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机器学习的正则化是什幺意思?

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经常在各种文章或资料中看到正则化,比如说,一般的目标函数都包含下面两项

 

 

其中,误差/损失函数鼓励我们的模型尽量去拟合训练数据,使得最后的模型会有比较少的 bias。而正则化项则鼓励更加简单的模型。因为当模型简单之后,有限数据拟合出来结果的随机性比较小,不容易过拟合,使得最后模型的预测更加稳定。

 

但一直没有一篇好的文章理清到底什幺是正则化?

 

说到正则化,得先从过拟合问题开始谈起。

 

1)  The Problem of Overfitting(过拟合问题)

 

拟合问题举例-线性回归之房价问题:

 

a) 欠拟合(underfit, 也称High-bias,图片来源:斯坦福大学机器学习第七课“正则化”)

 

 

b) 合适的拟合:

 

 

c) 过拟合(overfit,也称High variance)

 

 

什幺是过拟合(Overfitting):

 

如果我们有非常多的特征,那幺所学的Hypothesis有可能对训练集拟合的非常好(

 

 

),但是对于新数据预测的很差。

 

过拟合例子2-逻辑回归:

 

与上一个例子相似,依次是欠拟合,合适的拟合以及过拟合:

 

a) 欠拟合

 

 

b) 合适的拟合

 

 

c) 过拟合

 

 

如何解决过拟合问题:

 

首先,过拟合问题往往源自过多的特征,例如房价问题,如果我们定义了如下的特征:

 

 

那幺对于训练集,拟合的会非常完美:

 

 

所以针对过拟合问题,通常会考虑两种途径来解决:

 

a) 减少特征的数量:

 

-人工的选择保留哪些特征;

 

-模型选择算法

 

b) 正则化

 

-保留所有的特征,但是降低参数 的量/值;

 

-正则化的好处是当特征很多时,每一个特征都会对预测y贡献一份合适的力量;

 

所以说,使用正则化的目的就是为了是为了防止过拟合。

 

 

如上图所示,红色这条想象力过于丰富上下横跳的曲线就是过拟合情形。结合上图和正则化的英文,直译应该叫规则化。

 

什幺是规则?比如明星再红也不能违法,这就是规则,一个限制。同理,规划化就是给需要训练的目标函数加上一些规则(限制),让它们不要自我膨胀,不要过于上下无规则的横跳,不能无法无天。

 

 

L1正则化和L2正则化

 

机器学习中几乎都可以看到损失函数后面会添加一个额外项,常用的额外项一般有两种,一般英文称作ℓ1-norm和ℓ2-norm,中文称作L1正则化和L2正则化,或者L1范数和L2范数。

 

L1正则化和L2正则化可以看做是损失函数的惩罚项。所谓『惩罚』是指对损失函数中的某些参数做一些限制。

 

对于线性回归模型,使用L1正则化的模型建叫做Lasso回归,使用L2正则化的模型叫做Ridge回归(岭回归)。

 

下图是Python中Lasso回归的损失函数,式中加号后面一项α||w||1即为L1正则化项。

 

 

下图是Python中Ridge回归的损失函数,式中加号后面一项

 

 

即为L2正则化项。

 

 

一般回归分析中回归w表示特征的系数,从上式可以看到正则化项是对系数做了处理(限制)。L1正则化和L2正则化的说明如下:

 

L1正则化是指权值向量w中各个元素的绝对值之和,通常表示为

 

 

L2正则化是指权值向量w中各个元素的平方和然后再求平方根(可以看到Ridge回归的L2正则化项有平方符号),通常表示为

 

 

一般都会在正则化项之前添加一个系数,Python中用α表示,一些文章也用λ表示。这个系数需要用户指定。

 

那添加L1和L2正则化有什幺用?

 

L1正则化可以产生稀疏权值矩阵,即产生一个稀疏模型,可以用于特征选择

 

L2正则化可以防止模型过拟合(overfitting)。当然,一定程度上,L1也可以防止过拟合

 

稀疏模型与特征选择

 

上面提到L1正则化有助于生成一个稀疏权值矩阵,进而可以用于特征选择。为什幺要生成一个稀疏矩阵?

 

稀疏矩阵指的是很多元素为0,只有少数元素是非零值的矩阵,即得到的线性回归模型的大部分系数都是0. 通常机器学习中特征数量很多,例如文本处理时,如果将一个词组(term)作为一个特征,那幺特征数量会达到上万个(bigram)。

 

在预测或分类时,那幺多特征显然难以选择,但是如果代入这些特征得到的模型是一个稀疏模型,表示只有少数特征对这个模型有贡献,绝大部分特征是没有贡献的,或者贡献微小(因为它们前面的系数是0或者是很小的值,即使去掉对模型也没有什幺影响),此时我们就可以只关注系数是非零值的特征。这就是稀疏模型与特征选择的关系。

 

L1正则化和特征选择

 

假设有如下带L1正则化的损失函数:

 

 

其中J0是原始的损失函数,加号后面的一项是L1正则化项,α是正则化系数。注意到L1正则化是权值的绝对值之和,J是带有绝对值符号的函数,因此J是不完全可微的。

 

机器学习的任务就是要通过一些方法(比如梯度下降)求出损失函数的最小值。当我们在原始损失函数J0后添加L1正则化项时,相当于对J0做了一个约束。令L=α∑w|w|,则J=J0+L,此时我们的任务变成在L约束下求出J0取最小值的解。

 

考虑二维的情况,即只有两个权值w1和w2,此时L=|w1|+|w2|对于梯度下降法,求解J0的过程可以画出等值线,同时L1正则化的函数L也可以在w1w2的二维平面上画出来。

 

如下图:

 

 

图中等值线是J0的等值线,黑色方形是L函数的图形。

 

在图中,当J0等值线与LL图形首次相交的地方就是最优解。上图中J0与L在L的一个顶点处相交,这个顶点就是最优解。注意到这个顶点的值是(w1,w2)=(0,w)。可以直观想象,因为L函数有很多『突出的角』(二维情况下四个,多维情况下更多),J0与这些角接触的机率会远大于与L其它部位接触的机率,而在这些角上,会有很多权值等于0,这就是为什幺L1正则化可以产生稀疏模型,进而可以用于特征选择。

 

而正则化前面的系数α,可以控制L图形的大小。α越小,L的图形越大(上图中的黑色方框);α越大,L的图形就越小,可以小到黑色方框只超出原点范围一点点,这是最优点的值(w1,w2)=(0,w)中的w可以取到很小的值。

 

类似,假设有如下带L2正则化的损失函数:

 

 

同样可以画出他们在二维平面上的图形,如下:

 

 

二维平面下L2正则化的函数图形是个圆,与方形相比,被磨去了棱角。因此J0与L相交时使得w1或w2等于零的机率小了许多,这就是为什幺L2正则化不具有稀疏性的原因。

 

PRML一书对这两个图是这幺解释的

 

 

上图中的模型是线性回归,有两个特征,要优化的参数分别是w1和w2,左图的正则化是L2,右图是L1。蓝色线就是优化过程中遇到的等高线,一圈代表一个目标函数值,圆心就是样本观测值(假设一个样本),半径就是误差值,受限条件就是红色边界(就是正则化那部分),二者相交处,才是最优参数。

 

可见右边的最优参数只可能在坐标轴上,所以就会出现0权重参数,使得模型稀疏。

 

L2正则化和过拟合

 

拟合过程中通常都倾向于让权值尽可能小,最后构造一个所有参数都比较小的模型。因为一般认为参数值小的模型比较简单,能适应不同的数据集,也在一定程度上避免了过拟合现象。

 

可以设想一下对于一个线性回归方程,若参数很大,那幺只要数据偏移一点点,就会对结果造成很大的影响;但如果参数足够小,数据偏移得多一点也不会对结果造成什幺影响,专业一点的说法是『抗扰动能力强』。

 

那为什幺L2正则化可以获得值很小的参数?

 

以线性回归中的梯度下降法为例。假设要求的参数为θ,hθ(x)是我们的假设函数,那幺线性回归的代价函数如下:

 

 

那幺在梯度下降法中,最终用于迭代计算参数θ的迭代式为:

 

 

其中α是learning rate. 上式是没有添加L2正则化项的迭代公式,如果在原始代价函数之后添加L2正则化,则迭代公式会变成下面的样子:

 

 

其中λ就是正则化参数。从上式可以看到,与未添加L2正则化的迭代公式相比,每一次迭代,θj都要先乘以一个小于1的因子,从而使得θj不断减小,因此总得来看,θ是不断减小的。

 

最开始也提到L1正则化一定程度上也可以防止过拟合。之前做了解释,当L1的正则化系数很小时,得到的最优解会很小,可以达到和L2正则化类似的效果。

 

最后再补充一个角度:正则化其实就是对模型的参数设定一个先验,这是贝叶斯学派的观点。L1正则是laplace先验,l2是高斯先验,分别由参数sigma确定。在数据少的时候,先验知识可以防止过拟合。

 

举两个最简单的例子。

 

1 抛硬币,推断正面朝上的概率。如果只能抛5次,很可能5次全正面朝上,这样你就得出错误的结论:正面朝上的概率是1——–过拟合!如果你在模型里加正面朝上概率是0.5的先验,结果就不会那幺离谱。这其实就是正则。

 

2. 最小二乘回归问题:加L2范数正则等价于加了高斯分布的先验,加L1范数正则相当于加拉普拉斯分布先验。

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