Press "Enter" to skip to content

深度学习的数学-数列递推和Σ

Contents

 

前言

 

本篇博客主要复习下高中数学中的数列,包括数列的三种表示形式,一种是通项公式,另一种是递推关系式,另一种是联立递推关系式 神经单元的输入计算就涉及到这种递推式;另外还介绍了Σ运算的规则及常用形式。

 

正文

 

数列基本概念

 

数列是数的序列,比如如下偶数数列

 

 2,4,6,8,10

 

其中第一个数称为 首项 ,第二个数称为 第2项 ,第三个数称为 第3项 ,第n个数称为 第n项

 

如果一个数列是有限项的,那幺这个数列被称为 有穷数列 ,有穷数列中,最后一项被称为 末项

 

数列的通项公式

 

在数列的表示中,一般用 a1 表示首项, a2 表示第2项, an 表示第n项,那幺如果有一个式子能将 an 用关于 n 的式子表示出来,那幺数列的每一个值就都能得到确定,那幺这个式子就叫做数列的 通项公式

 

比如,通项公式 an = 2n,那幺把 n 从 1 到 n 带入进去,就会得到如下数列

 

 2, 4, 6, 8, …

 

比如我们得到了如下数列:

 

 1,3,5,7,9, …

 

也很容易就能推断出其通项公式为 an = 2*n-1

 

数列的递推关系式

 

数列也可以用相邻项来表示,举个最常见的例子,也就是着名的斐波拉契数列,有个特征就是当n>2时,第n项等于第n-1项及n-2项之和

 

 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…..

 

当n = 1或n=2时,数列值为0,当 n > 2 时,

用递推关系式表达这个数列很简单也很容易理解,但如果要用通项公式就会是下图这个样子:

 

 

 

具体推导方法不做具体介绍,详情可参考百科:https://baike.baidu.com/item/%E6%96%90%E6%B3%A2%E9%82%A3%E5%A5%91%E6%95%B0%E5%88%97/99145?fromtitle=%E6%96%90%E6%B3%A2%E6%8B%89%E5%A5%91%E6%95%B0%E5%88%97&fromid=10078434&fr=aladdin

 

计算机比较擅长递推公式的计算,比如斐波拉契序列在 python 中就可以很快速的实现

 

arr = [1, 1]
for i in range(2, 12):
    arr.append(a[i - 1] + a[i - 2])

 

数列的联立递推关系式

 

参考下书中的例题,其中 a1 = b1 = 1

可以推导出 a2 = a1 + 2*b1 + 2 = 5;b2 = 2*a1 + 3*b1 + 1 = 6;.....
得到两个数列:

 

 a = 1, 5, 19, …  b = 1, 6, 29, …

 

这就是联立递推式,在程序中也比较好实现

 

a = [1]
b = [1]
for i in range(1, 12):
    a.append(a[i-1] + 2*b[i-1] + 2)
    b.append(2*a[i-1] + 3*b[i-1] + 1)
print(a, b)

 

联立递推式在神经网络中的应用

 

a(l,j) 表示第l层,第j个神经单元

 

w(l,jk) 表示第l层,第j个神经元对应上一层第k个神经元

 

 

以隐藏层到输出层的神经单元信息传递为例,其规则满足如下递推式

Σ符号的含义

 

Σ读作Sigma,表示求和

 

比如我想对数列 {an} 的 首项第n项 求和,那幺可以表示为

 

 

其中Σ下方的k=1表示初始值,上方的n表示最终值,右侧的带k的表达式(如:ak),表示取数列中的哪一项

 

Σ的几种常见用法

 

比如,求数列 a1 + a2 + a3 + a4 + a5 可以这样表示:

 

 

求 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2,可以这样表示:

 

 

求 2^1 + 2^2 + … 2^m,可以这样表示

Σ的几个性质及证明

Σ具有线性性质,比如
Σ(ak + bk) = Σ(ak) + Σ(bk) ,
Σ(c*a) = c*Σ(a)

证明过程如下,挺好看懂的

总结

 

本篇主要介绍数列相关内容,包括其通项公式表示法、递推表示法、联立递推表示法(重点);以及Σ的定义、常见用法及性质。

Be First to Comment

发表回复

您的电子邮箱地址不会被公开。 必填项已用*标注