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隐马尔可夫模型(HMM)及Viterbi算法

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HMM简介

对于算法爱好者来说,隐马尔可夫模型的大名那是如雷贯耳。那么,这个模型到底长什么样?具体的原理又是什么呢?有什么具体的应用场景呢?本文将会解答这些疑惑。
本文将通过具体形象的例子来引入该模型,并深入探究隐马尔可夫模型及Viterbi算法,希望能对大家有所启发。
,hidden Markov model)是可用于标注问题的统计学模型,描述由隐藏的马尔可夫链随机生成观测序列的过程,属于生成模型。HMM模型在实际的生活和生产中有着广泛的应用,包括语音识别,自然语言处理,生物信息,模式识别等领域。

引入

某天,你的女神告诉你说,她放假三天,将要去上海游玩,准备去欢乐谷、迪士尼和外滩(不一定三个都会去)。
她呢,会选择在这三个地方中的某几个逗留并决定是否购物,而且每天只待在一个地方。根据你对她的了解,知道她去哪个地方,仅取决于她去的上一个地方,且是否购物的概率仅取决于她去的地方。已知她去的三个地方的转移概率表如下:

上个地方 欢乐谷 迪士尼 外滩
欢乐谷 0.8 0.05 0.15
迪士尼 0.2 0.6 0.3
外滩 0.2 0.3 0.5

稍微对这个表格做些说明,比如第一行,前一天去了欢乐谷后,第二天还待在欢乐谷的概率为0.8,去迪士尼的概率为0.05,去外滩的概率为0.15。
她在每个地方的购物概率为:

地点 购物概率
欢乐谷 0.1
迪士尼 0.8
外滩 0.3

在出发的时候,她跟你说去每个地方的可能性相同。后来,放假回来后,你看了她的朋友圈,发现她的购物情况如下:第一天不购物,第二三天都购物了。于是,你很好奇,她这三天都去了哪些地方。
怎么样,聪明的你能求解出来吗?

HMM的模型参数

接下来,我们将会介绍隐马尔可夫模型(HMM)。
隐马尔可夫模型是关于时序的概率模型,描述由一个隐藏的马尔可夫链随机生成不可观测的状态随机序列,再由各个状态生成一个观测而产生观测随机序列的过程。隐藏的马尔可夫链随机生成的状态的序列,称为状态序列;每个状态生成一个观测,而由此产生的观测的随机序列,称为观测序列。序列的每一个位置又可以看作是一个时刻。
隐马尔可夫模型由初始概率分布、状态转移概率分布以及观测概率分布确定。隐马尔可夫模型的形式定义如下:
设Q是所有可能的状态的集合,V是所有可能的观测的集合,也就是说,Q是不可见的,而V是可见的,是我们观测到的可能结果。

q={q1,q2,...,qN},V={v1,v2,...,vM}q={q1,q2,…,qN},V={v1,v2,…,vM}

其中,N是可能的状态数,M是可能的观测数。
在刚才的例子中,QQ是不可见的状态集合,应为Q={}Q={欢乐谷,迪士尼,外滩},而VV是可以观测的集合,应为V={}V={购物,不购物}
I是长度为T的状态序列,O是对应的观测序列。

I=(i1,i2,...,iT),O=(o1,o2,...,oT)I=(i1,i2,…,iT),O=(o1,o2,…,oT)

在刚才的例子中,II这个序列是我们需要求解的,即女生去了哪些地方,而OO是你知道的序列,O={}O={不购物,购物,购物}
A是状态转移概率矩阵:

A=[aij]N×NA=[aij]N×N

其中,aij=P(it+1=qj|it=qi),i=1,2,...,N;j=1,2,..,Naij=P(it+1=qj|it=qi),i=1,2,…,N;j=1,2,..,N是在时刻t处于状态qiqi的条件下在时刻t+1转移到状态qjqj的概率。在刚才的例子中,转移概率矩阵为:

A=⎡⎣⎢⎢0.80.60.20.050.60.30.150.20.5⎤⎦⎥⎥A=[0.80.050.150.60.60.20.20.30.5]

B是观测概率矩阵:

B=[bj(k)]N×MB=[bj(k)]N×M

其中,bj(k)=P(ot=vk|it=qj),k=1,2,...,M;j=1,2,...,Nbj(k)=P(ot=vk|it=qj),k=1,2,…,M;j=1,2,…,N是在时刻t处于状态qjqj的条件下生成观测vkvk的概率。在刚才的例子中:

B=⎡⎣⎢⎢0.10.80.30.90.20.7⎤⎦⎥⎥B=[0.10.90.80.20.30.7]

ππ是初始状态概率向量π=(πi)π=(πi),其中πi=P(i1=qi),i=1,2,...,Nπi=P(i1=qi),i=1,2,…,N是时刻t=1处于状态qjqj的概率。在刚才的例子中, π=(13,13,13).π=(13,13,13).
综上,我们已经讲完HMM中的基本概念。同时,我们可以知道,隐马尔可夫模型由初始状态概率向量ππ,状态转移概率矩阵AA和观测概率矩阵BB决定。ππAA决定状态序列,BB决定观测序列。因此,隐马尔可夫模型λλ可用三元符号表示,即

λ=(A,B,π)λ=(A,B,π)

A,B,πA,B,π称为HMM的三要素。
当然,隐马尔可夫模型之所以被称为马尔可夫模型,是因为它使用了两个基本的假设,其中之一为马尔可夫假设。它们分别是:

  1. 齐次马尔科夫假设,即假设隐藏的马尔可夫链在任意时刻t的状态只依赖于其前一时刻的状态,与其他时刻的状态及观测无关,也与时刻t无关。
P(ii|it1,ot1,...,i1,o1)=P(it|it1),t=1,2,...,TP(ii|it−1,ot−1,…,i1,o1)=P(it|it−1),t=1,2,…,T
  1. 观测独立性假设,即假设任意时刻的观测只依赖于该时刻的马尔可夫链的状态,与其他观测及状态无关。
P(oi|iT,oT,...,it+1,ot+1,it,tt1,ot1,...,i1,o1)=P(ot|it),t=1,2,...,TP(oi|iT,oT,…,it+1,ot+1,it,tt−1,ot−1,…,i1,o1)=P(ot|it),t=1,2,…,T

在刚才的假设中,我们对应的两个假设分别为:她去哪个地方,仅取决于她去的上一个地方;是否购物的概率仅取决于她去的地方。前一个条件为齐次马尔科夫假设,后一个条件为观测独立性假设。
以上,我们就介绍了HMM的基本概念及假设。而HMM的三个基本问题如下:

  1. 概率计算问题。给定模型λ=(A,B,π)λ=(A,B,π)和观测序列O=(o1,o2,...,oT)O=(o1,o2,…,oT),计算在模型λλ下观测序列OO出现的概率P(O|λ).P(O|λ).
  2. 学习问题。已知观测序列O=(o1,o2,...,oT)O=(o1,o2,…,oT),估计模型λ=(A,B,π)λ=(A,B,π)参数,使得在该模型下观测序列概率P(O|λ)P(O|λ)最大。
  3. 预测问题。已知模型λ=(A,B,π)λ=(A,B,π)和观测序列O=(o1,o2,...,oT)O=(o1,o2,…,oT),求对给定观测序列条件概率P(I|O)P(I|O)最大的状态序列I=(i1,i2,...,iT).I=(i1,i2,…,iT).即给定观测序列,求最有可能的对应的状态序列。

上面的例子即为HMM的第三个基本问题,也就是,给定观测序列{不购物,购物,购物},结果最有可能的状态序列,即游玩的地方。

求解HMM的第三个基本问题,会用到大名鼎鼎的维特比算法()。
维特比算法以安德鲁·维特比(Andrew Viterbi)命名,是现代数字通信中最常用的算法,同时也是很多自然语言处理采用的解码算法。可以毫不夸张地讲,维特比是对我们的生活影音力最大的科学家之一,因为基于CDMA的3G移动通信标准主要就是他和厄文·雅各布(Irwin Mark Jacobs)创办的高通公司(Qualcomm)指定的。
维特比算法是一个特殊但应用最广的动态规划(dynamic programming),利用动态规划,可以解决任何一个图中的最短路径问题,同时,它也是求解HMM描述的第三个基本问题的算法。
在维特比算法中,需要引入两个变量δδψ.ψ.定义在时刻t状态i的所有单个路径(i1,i2,...,it)(i1,i2,…,it)中概率最大值为

δt+1(i)=max1jN[δt(j)aji]bi(ot+1),i=1,2,...,N;t=1,2,...,T.δt+1(i)=max1≤j≤N[δt(j)aji]bi(ot+1),i=1,2,…,N;t=1,2,…,T.

定义在时刻t状态为i的所有单个路径(i1,i2,...,it1,i)(i1,i2,…,it−1,i)中概率最大的路径的第i-1个节点为

ψt(i)=argmax1jN[δt1(j)aji],i=1,2,...,N;t=1,2,...,T.ψt(i)=argmax1≤j≤N[δt−1(j)aji],i=1,2,…,N;t=1,2,…,T.

下面是维特比算法在HMM的第三个基本问题的算法:

Python代码实现

下面,对于刚才给出的例子,我们将使用Python,来写代码实现Viterbi算法,同时求解刚才的问题。

# -*- coding: utf-8 -*-
# HMM.py
# Using Vertibi algorithm

import numpy as np

def Viterbi(A, B, PI, V, Q, obs):

    N = len(Q)
    T = len(obs)
    delta = np.array([[0] * N] * T, dtype=np.float64)
    phi = np.array([[0] * N] * T, dtype=np.int64)
    # 初始化
    for i in range(N):
        delta[0, i] = PI[i]*B[i][V.index(obs[0])]
        phi[0, i] = 0

    # 递归计算
    for i in range(1, T):
        for j in range(N):
            tmp = [delta[i-1, k]*A[k][j] for k in range(N)]
            delta[i,j] = max(tmp) * B[j][V.index(obs[i])]
            phi[i,j] = tmp.index(max(tmp))

    # 最终的概率及节点
    P = max(delta[T-1, :])
    I = int(np.argmax(delta[T-1, :]))

    # 最优路径path
    path = [I]
    for i in reversed(range(1, T)):
        end = path[-1]
        path.append(phi[i, end])

    hidden_states = [Q[i] for i in reversed(path)]

    return P, hidden_states


def main():

    # 状态集合
    Q = ('欢乐谷', '迪士尼', '外滩')
    # 观测集合
    V = ['购物', '不购物']
    # 转移概率: Q -> Q
    A = [[0.8, 0.05, 0.15],
         [0.2, 0.6, 0.2],
         [0.2, 0.3, 0.5]
        ]

    # 发射概率, Q -> V
    B = [[0.1, 0.9],
         [0.8, 0.2],
         [0.3, 0.7]
         ]

    # 初始概率
    PI = [1/3, 1/3, 1/3]

    # 观测序列
    obs = ['不购物', '购物', '购物']

    P, hidden_states = Viterbi(A,B,PI,V,Q,obs)
    print('最大的概率为: %.5f.'%P)
    print('隐藏序列为:%s.'%hidden_states)

main()

输出结果如下:

最大的概率为: 0.02688.
隐藏序列为:['外滩', '迪士尼', '迪士尼'].

现在,你有很大的把握可以确定,你的女神去了外滩和迪士尼。

参考文献

  1. 一文搞懂HMM(隐马尔可夫模型):https://www.cnblogs.com/skyme/p/4651331.html
  2. 李航《统计学习方法》 清华大学出版社
  3. HMM与分词、词性标注、命名实体识别:http://www.hankcs.com/nlp/hmm-and-segmentation-tagging-named-entity-recognition.html
  4. Hidden Markov Models 1: http://docplayer.net/21306742-Hidden-markov-models-1.html
  5. 吴军 《数学之美》 人民邮电出版社

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